本节介绍二阶系统的时域分析,主要介绍欠阻尼情况下的时间响应与动态性能指标
文章目录
- 概述
- 极点的表示方法
- 无阻尼响应
- 临界阻尼响应
- 过阻尼响应
- 欠阻尼响应
- 欠阻尼系统的单位阶跃响应
- 动态性能与极点分布的关系
- 例题
- 改善二阶系统动态性能的措施
概述
二阶系统时间响应比较重要,因为所有高阶系统都可以使用二阶系统来近似。
二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。反映在传递函数上就是闭环传递函数分母为s的2次方程。
二阶系统传递函数的标准形式
典型结构为一个惯性环节和一个积分环节串联
其中具有的量纲,称为自然频率
是常数,称为阻尼比或者阻尼系数
二阶系统分类:
阻尼比 | 系统分类 | 特征根 |
0阻尼 | ||
欠阻尼 | ||
临界阻尼 | ||
过阻尼 |
,系统震荡发散,,系统单调发散。不稳定,所以不加讨论。
极点的表示方法
特征根,也就是系统的极点,有以下几种不同的表示方法:
- 直角座标表示
其虚部称为阻尼震荡频率 - “极”座标表示
注意,这个不是真的极座标,只是用极座标的方式去理解
把写成模值+相角的形式
根据几何关系:
角也称阻尼角
无阻尼响应
此时特征根为共轭纯虚根
临界阻尼响应
此时特征根为两个相同的负实根
没有超调。
调节时间
响应时间比过阻尼快。
过阻尼响应
此时特征根为两个不同的负实根
过阻尼情况下时间响应增加比临界阻尼更慢。
过阻尼情况可以等效为两个一阶惯性系统的串联。如果两个特征根绝对值相差很大(3倍以上),则这个二阶系统可以近似用一阶系统来表示。
动态性能指标的计算:
定义时间常数:
系统时间响应:
方程很难解,所以一般直接读图:
「图源:胡寿松-自动控制原理」
首先根据或者,在曲线上确定出一个点。然后读出这个点对应的,结合T1的值就可以计算ts的值了。通过一个例子来体会一下这个曲线怎么用:
在工程实践中,如果,可以按照一阶系统计算:
欠阻尼响应
此时特征根为共轭复根。
欠阻尼系统的单位阶跃响应
动态性能的三个结论:
也有教材里面
再补充几个不太重要的指标,了解即可:
上升时间:
震荡次数:之前说性能指标的时候就已经说过,实际上使用的是单位阶跃响应曲线的包络线。
包络线是曲线:
实际调节时间是不连续的,比如下面这种情况:(为常数)
在的情况下,第二次震荡刚好在误差带之内,所以计算调节之间只需要看第一次震荡进入误差带的时间t2就可以了。
但是在的情况下,第二次震荡刚好超出了误差带,所以必须计算第三次震荡进入误差带的时间t1
虽然相差很少,但是反映在调节时间上就相差很大了。
最佳阻尼比
刚好时间响应曲线与误差带相切。这样实际上的调节时间是最短的。
用极座标表示就是
最佳阻尼比下,系统的实际调节时间:
动态性能与极点分布的关系
极点向上移动,超调量增大,但调节时间不变
向左移动,超调量减小,调节时间也减小
沿着某一条倾斜直线远离原点移动,超调量不变,调节时间减小
按照直角座标变化:向上即是仅虚部增大,角增大,对应减小,增大。不变。
向左即是仅实部变小,变大。角减小,对应增大。同样代入公式:减小,也减小。
按照极座标变化:
远离原点即是变大,角不变,不变。代入公式, 减小,不变。
绕原点顺时针转动即是不变,角增大,减小。代入公式,增大,增大。
例题
欠阻尼二阶系统重点掌握动态性能指标的三个公式就可以了。
除了这种已知系统参数要求性能指标的题,还有已知性能指标倒求系统参数的题:
改善二阶系统动态性能的措施
- 测速反馈(增加阻尼)
- 比例+微分(提前控制)