一 算法背景
贝叶斯网络结构学习就是从给定的数据集中学出贝叶斯网络结构，即各节点之间的依赖关系，即对于网络中任意两个节点，我们要判断它们之间是否有边相连，如果相连，边的方向是从谁指向谁。我们自然会想到，每次取两个边测试并确定它们之间的状态，直至所有边与边之间的关系都被确定。然而具体实施的时候，我们遇到两个问题，一是如何对边进行测试；二是如何减少测试的次数以提高效率。
二 预备知识：马尔科夫毯
首先介绍一下马尔科夫毯(Markov Blanket)。一旦确定了马尔科夫毯，我们可以减少独立性测试的范围。
1.马尔科夫毯定义
形式化定义为：对于任意变量X∈U，其马尔科夫毯是一个变量集B(X)⊆U，且对任意Y∈U-B(X)-{X}，满足X⊥Y|B(X)。
通俗理解就是，对一个贝叶斯网，假设其节点集为U，任选某个节点X，我们求出其马尔科夫毯B(X)，B(X)是一个全集U的子集。那么当马尔科夫毯B(X)中的节点已知时，剩余部分节点（从全集U中除去X及B(X)）与X独立。也就是B(X)将其他的节点对X的影响屏蔽了。
2.马尔科夫毯实例
某个节点的马尔科夫毯包含这个节点的父变量，孩子节点以及孩子节点的父节点。如下图中，对于节点X，其马尔科夫毯是图中灰色的部分，可以验证当图中灰色部分已知时，X和图中除去灰色部分的其他节点都是独立的。为什么马尔科夫毯包含这些节点呢？首先对于节点X，与其有直接连边的节点一定是相互依赖的，所以这些节点，也就是X的父节点和孩子节点只能被放入马尔科夫毯中。此外，如果X的孩子节点是一个collider，那么根据D-Separation（关于d-分离，可以看一下这篇 ），在已知collider的条件下，collider的两个父节点是相互依赖的，所以节点X的孩子变量的父节点也要放入马尔科夫毯中。
3.如何求出马尔科夫毯
上面因为有已经建立依赖的图，我们可以直接看出马尔科夫毯。但实际处理时，依赖图是我们的最终目标。现在假设我们没有依赖图，但是有节点之间的独立性关系。下面介绍一种算法，当给定一个节点X，可以得到其马尔科夫毯B(X)。算法共分为两个阶段：grow和shrink。直观的讲，就是定义一个集合存储候选的B(X)。我们在grow阶段尽可能的把潜在节点放入B(X)中；而在shrink阶段，我们再对B(X)中节点进行严格检测，把错误的节点剔除出去。具体算法如下图3.2。
step1定义一个集合S来表示马尔科夫毯，一开始自然是空集。
step2是grow阶段，定义一个节点集R=U-S-{X}，我们遍历节点集R中的节点，假设当前遍历到Y，进行条件独立性测试(conditional independence test，CI)，即在给定S的条件下，如果X和Y不独立，那么就将Y放入S中。
我们要持续进行step2，直到某一次R中没有任何一个节点满足被放入S的条件。然而，step2我们最多只会进行2次。与X有直接连边的节点一定不独立，所以在第一次step2时就会被放入S。在第二次step2时，X的所有父节点和孩子节点都已经被放入S中了，那么X的孩子节点的父节点在S已知的条件下与X不独立，所以也保证一定会被放入S中。
在step2中，可以保证马尔科夫毯中的节点一定会被放入S中，然而一些不属于马尔科夫毯的节点也会被错误地放入S中，如下图
上图是step2中的某一刻遍历时的情况，虚线表示underlying net，我们要求出A的马尔科夫毯。此时集合S包含B、C、G，要测试的是K。显然在S已知时，K和A是不独立的，所以会被放入S中，但K明显不属于A的马尔科夫毯。可以发现这种错误的情况与遍历变量的顺序有关，如果我们先测试D，那么D会被放入S，那么在后续测试K时，K与A将在S的条件下独立，就不会被放入S中。然而遍历的顺序很难确定，通常都是随机的，所以我们要引入一个shrink阶段，也就是step3，将错误节点从S中除去。
在step3中，遍历S中的所有节点，假设当前遍历到节点Y，如果满足X⊥Y|S-{Y}，那么就将Y从S中移出。在step2中，我们保证马尔科夫毯中的所有节点都被放入S中，根据定义，当马尔科夫毯中节点已知时，X与其他所有节点独立。所以如果遍历到的Y不属于马尔科夫毯，那么其一定与X独立，因此step3只需执行一次就可将错误变量从S中移除。
三 建立有向无环图
至此我们得到了变量X的马尔科夫毯，接下来我们就要去建立变量间的依赖关系了。在图中我们通常用节点表示变量，依赖关系则表现为一系列节点间的连边。直观上说就是利用马尔科夫毯建立基本的无向图，之后再利用v-structure，无环等性质确定边的方向。详细算法步骤如下：
step1就是将每个节点的马尔科夫毯都求出来。
step2就是判断每个节点与其马尔科夫毯中节点的连接方式。对某个节点X，遍历其马尔科夫毯。假设遍历到的是Y，我们想判断X和Y是否直接相连。马尔科夫毯中既有孩子节点，又有孩子节点的父节点，前者相连，无论任何情况下都相互依赖；后者不相连，若collider（公共孩子节点）未知则是独立的。利用这个特性，我们对X或Y的马尔科夫毯中节点自由组合，并以组合后的节点集此作为条件集，来进行条件独立性测试测试，当X和Y不直接相连时，我们总是可以找到一个条件集使X和Y不独立，所以只要在任何集合下都依赖，那么变量Y就是与X直接相连的。这里取B(X)或B(Y)对最终的结果没有影响，我们选择长度更小的集合有助于减少条件独立性测试的次数。对所有变量执行相同操作后，我们就获取了整个网络无向连接的方式了。
step3中我们通过找到v-structure来确定网络中某些边的方向。为了找到潜在的v-structure，首先要找到这样的结构：Y和X相连，X和Z相连，Y和Z不相连。也就是遍历所有节点X，对每个X，再遍历其邻居节点集N(X)，比如遍历到一个Y，接下来找Z，其实Z就是与X相连但与Y不相连的节点，即Z∈N(X)-N(Y)-{Y}。现在X，Y，Z只能是一个潜在的v-structure，因为其方向还未能确定。为此要判断Y和Z的独立性，所以我们要对Y或Z的马尔科夫毯中节点自由组合，并以组合后的节点集与X的并集作为条件集，来进行条件独立性测试测试。对于非v-structure，我们总能找到一个节点集使其独立。而对于underlying net中的v-structure，当collider（节点X）已知时，其父亲节点一定相互依赖。所以只要在任何节点集上都依赖。Y-X-Z组成了v-structure就可以确定边的方向：Y->X。这里无法保证所有的边都能被确认方向，比如在underlying net中，N(X)只有Y，那么无法找到任何一个Z。或是v-structure的父亲节点存在连边的情况，此时v-structure的父亲节点不会被放入Z可能的集合中。
step4要除去环结构。对于一条边，我们计算包含它的环的个数，找到一条计数最大的边并从图中移除。移除后如果仍有环，再次计算计数最大的边并移除。
step5中，我们要把step4中移除的边逆向添加回图中，添加的顺序正好与step4中移除的顺序相反。
step4和step5我看的不是太明白，比如说step5里，为啥要是相反的顺序，反正就是添加边，而且是全部添加，顺序不同有影响吗。这里只能大体说一说自己的理解，希望其他人可以更正。
在step4中移除，并在step5中反向添加，会不会引入新的环？答案是不会。看下图：
如果在step4中移除的边是x->y，那么step5反向为y->x，就引入了新的环，这似乎说明算法第5步无法保证步引入新的环。然而无论x与y连边的方向如何，总是会存在环，出现这种情况就意味着underlying net本身就是存在环的，这显然与underlying net的无环性矛盾。
step6我们需要给剩余的边确定方向，对于所有的X和其邻居Y，如果它们之间还没有确定方向，我们来找是否有一条路径从X通往Y，如果有则确定边X->Y。这一步显然是根据无环性来确定方向，因为引入相反的方向一定会引入环。
四 总结
再次回顾开头提到两个问题：
一是如何对边进行测试；解决方法是利用独立性测试，在处理实际样本时，我们通常考虑去计算变量间的相关性，如互信息，卡方检验。
二是如何减少测试的次数以提高效率。解决方法是对每个节点构造其马尔科夫毯，只需要对马尔科夫毯中的节点进行处理。
