Python 天线方向图 天线方向函数的定义

天线小知识-方向性系数

文章目录

• 天线小知识-方向性系数

• 方向性系数
• 辐射强度和辐射功率
• 理想点源天线
• 方向性系数表达式

方向性系数

方向性函数表示了天线在各个方向上辐射场的相对大小，不能明确表示天线辐射能量在某个特定方向上集中的程度，因此引进方向性系数这一概念。方向性系数是用来表征天线辐射能量集中程度的一个参数。

天线在给定方向上的方向性系数$D(\theta_0,\varphi_0)$有两种定义方法：

1. 在相同辐射功率$P_r$情况下，某天线在给定方向的辐射强度$U(\theta_0,\varphi_0)$与理想点源天线在同一方向上的辐射强度$U_0(\theta_0,\varphi_0)$之比：

$D(\theta_0,\varphi_0)=\frac{U(\theta_0,\varphi_0)}{U_0(\theta_0,\varphi_0)}$ 相同辐射功率$Pr$

辐射强度和辐射功率

描述功率和电磁场的关系采用坡印亭矢量，坡印廷矢量是功率密度矢量，定义为

$W=\frac{1}{2}E\times H^*$

坡印廷矢量是电场和磁场强度矢量的叉积，乘上因子1/2后，表示为坡印廷矢量的时间平均值。

辐射功率：取坡印廷矢量W与一个面积元矢量ds的标积就是通过该面积元的辐射功率$dPr = W \cdot ds$，沿包围天线的整个表面s的积分就得到天线的总辐射功率Pr，公式为：

$P_{r} = \oint \oint_{C}^{} W \dot{} ds = \frac{1}{2} \oint \oint_{C}^{}E\times H^* \dot{}\hat{n}ds$

设闭合积分面为包围天线的一个球面，则积分面元为$ds = r^2sin\theta d\varphi d\theta$，闭合面的积分变成对$\varphi$变量（$0 \le \varphi \le 2\pi$）和$\theta$变量（$0 \le \theta \le \pi$）的二重积分，则辐射功率表达式为：

$P_r = \frac{E_m^2}{2\eta_0} \int_{0}^{2\pi } d\varphi \int_{0}^{\pi } f^2(\theta ,\varphi )sin\theta d\theta$

辐射强度：在给定方向上的辐射强度定义为天线在单位立体角内所辐射的功率，是一个远场参数。半径为r的球面面积为$S= 4\pi r^2$ ，立体角为$\Omega = 4\pi$，在给定方向上的辐射强度$U(\theta,\varphi)$

$U(\theta,\varphi) = \frac{(W \cdot\hat{r})S}{\Omega} = \frac{1}{2}r^2(E\times H^*\cdot\hat{r}) = \frac{r^2 E^2}{2\eta _{0}} \cdot \hat{r}$

可见，辐射强度与电场强度的平方成正比，

$D(\theta_0,\varphi_0)=\frac{E^2(\theta_0,\varphi_0)}{E^2_0}$相同辐射功率Pr

式中，$E(\theta_0,\varphi_0)$ 为天线在指定方向上的电场强度，$E_0$

理想点源天线

理想点源天线是指无损耗的各向同性的假想点源天线，其辐射方向图在空间是一个球面。所以辐射强度与方向角无关，即$U_0(\theta_0,\varphi_0) = U_0$ ，可以由天线在$4\pi$立体角内辐射功率的平均值来表示，

$U_0 = \frac{P_r}{4\pi}$

$E^2_0$由$E^2(\theta,\varphi)$

$E^{2} _{0} =\frac{\oint \oint_{C}^{} E^{2}(\theta ,\varphi ) ds }{S}$

大多数线极化天线的远区辐射电磁场的表达式为：

$E_\theta = E_{m} \frac{e^{-j\beta r } }{r} f(\theta ,\varphi )$

$H_\varphi =\frac{E_{\theta }}{\eta_0 }$

$\beta =\frac{2\pi }{\lambda }$

$U(\theta,\varphi) = \frac{(W \cdot\hat{r})S}{\Omega} = \frac{1}{2}r^2(E\times H^*\cdot\hat{r}) = \frac{r^2 E^2}{2\eta _{0}} \cdot \hat{r} = \frac{E_m^2}{2\eta_0}f^2(\theta,\varphi)$

方向性系数表达式

则方向性系数表达式为

$D(\theta,\varphi)=\frac{U(\theta_0,\varphi_0)}{U_0(\theta_0,\varphi_0)}= \frac{\frac{E_m^2}{2\eta_0}f^2(\theta,\varphi)}{\frac{P_r}{4\pi}}= \frac{\frac{E_m^2}{2\eta_0}f^2(\theta,\varphi)}{\frac{1}{4\pi}\frac{E_m^2}{2\eta_0} \int_{0}^{2\pi } d\varphi \int_{0}^{\pi } f^2(\theta ,\varphi )sin\theta d\theta}=\frac{f^2(\theta,\varphi)}{\frac{1}{4\pi} \int_{0}^{2\pi } d\varphi \int_{0}^{\pi } f^2(\theta ,\varphi )sin\theta d\theta}$

整理得

$D(\theta,\varphi)=\frac{f^2(\theta,\varphi)}{\frac{1}{4\pi} \int_{0}^{2\pi } d\varphi \int_{0}^{\pi } f^2(\theta ,\varphi )sin\theta d\theta}$