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autograd

• 自动求梯度

• 概念
• tensor
• 梯度

自动求梯度

概念

在深度学习中，我们经常需要对函数求梯度（gradient）。PyTorch提供的autograd包能够根据输入和前向传播过程自动构建计算图，并执行反向传播。

其中Tensor是这个包的核心类，如果将其属性.requires_grad设置为True，它将开始追踪(track)在其上的所有操作（这样就可以利用链式法则进行梯度传播了）。完成计算后，可以调用.backward()来完成所有梯度计算。此Tensor的梯度将累积到.grad属性中。

注意在y.backward()时，如果y是标量，则不需要为backward()传入任何参数；否则，需要传入一个与y同形的Tensor。
如果不想要被继续追踪，可以调用.detach()将其从追踪记录中分离出来，这样就可以防止将来的计算被追踪，这样梯度就传不过去了。此外，还可以用with torch.no_grad()将不想被追踪的操作代码块包裹起来，这种方法在评估模型的时候很常用，因为在评估模型时，我们并不需要计算可训练参数（requires_grad=True）的梯度。
Function是另外一个很重要的类。Tensor和Function互相结合就可以构建一个记录有整个计算过程的有向无环图（DAG）。每个Tensor都有一个.grad_fn属性，该属性即创建该Tensor的Function,
就是说该Tensor是不是通过某些运算得到的，若是，则grad_fn返回一个与这些运算相关的对象，否则是None。

tensor

// 创建一个Tensor并设置requires_grad=True:
x = torch.ones(2, 2, requires_grad=True)
print(x)
print(x.grad_fn)
//输出
//tensor([[1., 1.],
//       [1., 1.]], requires_grad=True)
//None

y = x + 2
print(y)
print(y.grad_fn)
//输出
//tensor([[3., 3.],
//        [3., 3.]], grad_fn=<AddBackward>)
//<AddBackward object at 0x1100477b8>

注意x是直接创建的，所以它没有grad_fn, 而y是通过一个加法操作创建的，所以它有一个为 (AddBackward)的grad_fn。 像x这种直接创建的称为叶子节点，叶子节点对应的grad_fn是None。

梯度

设 y = x + 2, z = y * y * 3 , out = z.mean()

//因为out是一个标量，所以调用backward()时不需要指定求导变量：
out.backward() # 等价于 out.backward(torch.tensor(1.))

我们来看看out关于x的梯度 $\frac{d(out)}{dx}$:

print(x.grad)
//输出
//tensor([[4.5000, 4.5000],
//       [4.5000, 4.5000]])

我们令out为 $o$ , 因为
$o=\frac14\sum_{i=1}^4z_i=\frac14\sum_{i=1}^43(x_i+2)^2$
所以
$\frac{\partial{o}}{\partial{x_i}}\bigr\rvert_{x_i=1}=\frac{9}{2}=4.5$
所以上面的输出是正确的。

数学上，如果有一个函数值和自变量都为向量的函数 $\vec{y}=f(\vec{x})$, 那么 $\vec{y}$ 关于
$\vec{x}$ 的梯度就是一个雅可比矩阵（Jacobian matrix）:
$J=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{n}}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{n}} \end{array}\right)$
而torch.autograd这个包就是用来计算一些雅克比矩阵的乘积的。例如，如果 $v$ 是一个标量函数的
$l=g\left(\vec{y}\right)$ 的梯度：
$v=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial l}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial l}{\partial y_{m}}\end{array}\right)$
那么根据链式法则我们有 $l$ 关于 $\vec{x}$ 的雅克比矩阵就为:
$v J=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial l}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial l}{\partial y_{m}}\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{n}}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{n}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial l}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial l}{\partial x_{n}}\end{array}\right)$
注意：grad在反向传播过程中是累加的(accumulated)，这意味着每一次运行反向传播，梯度都会累加之前的梯度，所以一般在反向传播之前需把梯度清零。

注:
本节主要参考PyTorch官方文档