混合整数非线性问题python例子 python求解混合整数规划

  摘要：当前使用Python求解混合整数规划问题的实例大多使用了cplex库。本文基于教材上的混合整数规划和0-1整数规划两道例题，尝试使用Python语言予以解决，得到的答案与教材上一致。现将有关求解过程及代码附上，以期对运筹学初学者有所裨益。
  关键词：整数规划； 0-1规划； cplex；Python

0.例题

  目标函数：
$\ Max \ z=3x_1+x_2+3x+3$
  约束条件：$\left\{\begin{aligned} -x_1+2x_2+x_3\leq 4 \\ 4x_2-3x_3\leq 2\\ x_1-3x_2+2x_3\leq3\\ x_1,x_2,x_3\geq 0\\ x_1为整数\\ x_3为0-1变量\\ \end{aligned}\right.$

1.Python代码

#导入cplex
import cplex
from cplex.exceptions import CplexError

my_obj=[3.0,1.0,3.0]#目标函数系数
my_ctype='ICI'#目标函数变量的类型，一般就是C,整数类型就是I就是integer
my_ub=[cplex.infinity, cplex.infinity,1]#变量的约束条件上限
my_lb=[0,0,0]#变量的约束条件下限
my_colnames=['x1','x2','x3']#column names列向量的名字
my_rhs=[4.0,2.0,3.0]#约束条件的值相当于b
my_rownames=['r1','r2','r3']#row names行向量的名字
#是约束条件的形式，L为小于号“less-than”,大于号是‘G’，即'greater than'
my_sense='LLL'

def populatebyrow(prob):
    #设置目标函数类型：求max or min
    prob.objective.set_sense(prob.objective.sense.maximize)
    #设置（增加）变量，明确目标函数，约束条件上限、下限，变量类型，还有变量名称
    prob.variables.add(obj=my_obj,lb=my_lb,ub=my_ub,types=my_ctype,
                      names=my_colnames)
    #对应的约束方程
    rows=[[['x1','x2','x3'],[-1.0,2.0,1.0]],
          [['x2','x3'],[4.0,-3.0]],
          [['x1','x2','x3'],[1.0,-3.0,2.0]]]
    #设置（增加）约束条件
    prob.linear_constraints.add(lin_expr=rows, senses=my_sense,
                         rhs=my_rhs,names=my_rownames)

#初始化模型
my_prob=cplex.Cplex()
#计算
handle=populatebyrow(my_prob)
#求解
my_prob.solve()
#输出结果
print(my_prob.solution.get_objective_value())
x = my_prob.solution.get_values()
print(x)

2.结果

  可以看到，求得最优解: $\ z=16.25; \ x_1=4.0, x_2=1.25, x_3=1.0$

3.求解0-1规划问题

（1）例题

$\ A_{ij}(j=1,2,...,10)$可供选择，考虑到各地居民消费水平及居民居住密集度，规定：
 （1）在东区由$\ A_1,A_2,A_3$三个点中至多选择两个；
 （2）在西区由$\ A_4,A_5$两个点中至少选择一个；
 （3）在南区由$\ A_6,A_7$两个点中至少选择一个；
 （4）在北区由$\ A_8,A_9，A_{10}$三个点中至少选择两个。

投资额	100	120	150	80	70	90	80	140	160	180
利润	36	40	50	22	20	30	25	48	58	61

$\ A_j$各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同而不同，预测情况如上表，但总投资金额不超过720万元，问应该选择哪几个销售点，可使利润最大。

（2）求解

$\ 0-1$变量$\ x_i=1(A_i点被选用)$或$\ x_i=0(A_i点未被选用)$，建立数学模型如下：
  目标函数：
$\ Max\ z=36x_1+40x_2+50x_3+22x_4+20x_5+30x_6+25x_7+48x_8+58x_9+61x_{10}$
  约束条件：$\left\{\begin{aligned} 100x_1+120x_2+...+160x_9+180x_{10} \leq 720 \\ x_1+x_2+x_3 \leq 2\\ x_4+x_5 \geq 1\\ x_6+x_7 \geq 1\\ x_8+x_9+x_{10} \geq 2\\ 1 \geq x_i \geq 0, i=1,2,...,10\\ x_i为0-1变量,i=1,2,...,10\\ \end{aligned}\right.$

(3)代码

import cplex
from cplex.exceptions import CplexError

my_obj=[36.,40.,50.,22.,20.,30.,25.,48.,58.,61.]
my_ctype='IIIIIIIIII'
my_ub=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]
my_lb=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]
my_colnames=['x1','x2','x3','x4','x5','x6','x7','x8','x9','x10']
my_rhs=[720,2,1,1,2]
my_rownames=['r1','r2','r3','r4','r5']
my_sense='LLGGG'
def populatebyrow(prob):
    prob.objective.set_sense(prob.objective.sense.maximize)
    prob.variables.add(obj=my_obj, lb=my_lb, ub=my_ub,
                       types=my_ctype, names=my_colnames)
    rows=[[['x1','x2','x3','x4','x5','x6','x7','x8','x9','x10'],[100.0,120.0,150.0,80.0,70.0,90.0,80.0,140.0,160.0,180.0]],
          [['x1','x2','x3'],[1.0,1.0,1.0]],
          [['x4','x5'],[1.,1.]],
          [['x6','x7'],[1.,1.]],
          [['x8','x9','x10'],[1.,1.,1.]]]
    prob.linear_constraints.add(lin_expr=rows, senses=my_sense,
                         rhs=my_rhs,names=my_rownames)


my_prob=cplex.Cplex()
handle=populatebyrow(my_prob)
my_prob.solve()
print(my_prob.solution.get_objective_value())
x = my_prob.solution.get_values()
print(x)

（4）结果

4.说明

  （1）以上两个例题均来自韩伯棠老师主编的《管理运筹学》（第四版）教材中，韩老师授课十分有趣、清楚，是初学运筹学者比较好的入门课程。
  （2）网上有很多关于cplex的说明，本人了解不全，很多设置还搞不清楚，请各位批评指正。