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论文信息
基础介绍
MLS
Affine Deformation
Similarity Deformation
Rigid Deformation
论文信息
论文链接：《Image Deformation Using Moving Least Squares》
基础介绍
刚性变换：平移+旋转（只有物体的位置和朝向发生改变，而形状不变，得到的变换成为刚性变形）
相似变换：平移+旋转+缩放
仿射变换：平移+旋转+缩放+倾斜+翻转
MLS
Moving Least Squares Deformation
- p：一列控制顶点
- q：控制顶点变换后的坐标
给定图上的一点
，求解一个最优的放射变换来最小化
其中
和
都是行向量，每行的分量为点的坐标，权重
有如下的形式
因为该最小二乘问题中的权重
独立于
变形后的点，所以我们称之为移动最小二乘最小化。对于不同的
，可以得到不同的变换
。由于
是仿射变换，所以可以写成
令原始的优化函数对T求偏导并令其为0，解出
其中
和
是原来一系列控制顶点的加权质心，
所以有
所以原优化函数可以修改为
其中
，考虑二维图像时，M就是一个2x2的矩阵。
Affine Deformation
要找一个仿射变换来极小化方程（4），直接用古典方法求解优化问题得
从而我们可以写成仿射变换的表达式
又因为
是固定的，所以上式可以变为
其中
可以预计算
直接做仿射变换会存在一些问题：原图中的网络点阵是排列整齐的，变换到目标图像中后便不再排列整齐，由于是浮点数运算，所以有一些点会变换到目标图的同一个点上，而目标图的有一点没有任何点从原图变换过来，这就会导致变换之后的图像产生白色的镂空。解决该问题的一个比较简单的办法就是对原始图像做逆变换，这相当于在目标图像的网格点阵上计算原图中对应的点，即已知
求解对应
。计算公式如下：
Similarity Deformation
实际上仿射变换包含了非一致性的平移和缩放，实际上的许多物体并不会发生这么复杂的变化。相似变换是仿射变换的一个子类，仅包含平移、旋转和一致的缩放。为了满足相似变换的性质，我们限制矩阵M满足
。如果M是分块矩阵，有
的形式，其中
的长度为2的列向量，那么对于M的限制可以变为
，并且
。这个限制意味着
，其中
是一个作用于二维向量的算子使得
。这样原来的目标方程（4）可以修改为
该二次方程有唯一的最优值，从而可以得到最优点M
其中
。从而得到最终的变换公式
其中
是
类似的我们可以得到逆相似变幻的公式
其中
Rigid Deformation
进一步地，我们要求变幻中不包括一致缩放，即限制变为
。先给出一个定理，这个定理说明了刚性变换和相似变换的关系。
定义一.令C是可以极小化如下相似问题的矩阵
如果C写成
的形式，R是一个旋转矩阵，
是一个标量，那么旋转矩阵R极小化如下的刚性问题
根据定理我们知道刚性变化恰好就是方程（8），除了把其中的
替换为
令
其中
由式（9）定义，最后的变换公式为
上述变换公式不易求的其逆变换，所以近似的使用如下逆变换
其中
