java 求延长线垂点 java计算线段长度

背景：
线段树（Segment Tree）是一种树形结构，具有二叉搜索树的性质。想要学好某种数据结构，首先要明白它是为了解决什么问题或那类问题而产生的。这里首先抛出一个非常典型的问题：
给定一个数组nums，现在要你实现两个操作，

1. 查询：查询数组nums的下标在[left,right]范围内的和sum，即sum=nums[left]+…+nums[right]
2. 更新：将数组nums的下标为position的值改为value，即nums[position]=value

问题十分简单，也很容易理解，两个操作的时间复杂度也很明显，查询O(n)，更新O(1)，但是在操作的次数很庞大时，总查询的时间复杂度变为O(n*m)，m为操作次数，有人可能会利用前缀和的思想对查询这个操作优化下，即再引入一个数组，用于存前缀和，那么一次查询操作的时间复杂度降为O(1)，不过，因为存在更新操作，为了维护前缀和数组，一次更新操作的时间复杂度升为O(n)。

简介：
还有更好的办法么？这时线段树就出来了，它使查询或更新操作的时间复杂度都为O(logn)，先来张图，有个大致印象

这是种树结构，其节点可以存在很多信息，视情况而定，看你构造的节点类型，其中必不可少的就是“线段”啦，就是一头一尾的下标。而我们一般使用数组来存储树结构，学过堆结构的同学应该很快会想到这种方法。下面将介绍基于本文章开头提出的问题，分别用递归与非递归的方式来实现线段树。

递归实现：
这里规定根节点在数组的下标为0，即从0开始，对任意节点的下标index，其左孩子的下标为2 * index+1，右孩子为2 * index+2，树节点的值存的是对应“线段”的和。

首先是构建树，

public void build(int index, int start, int end) {
        if (start == end) {
            tree[index] = nums[start];
            return;
        }
        int mid = start + (end - start) / 2;
        build(2 * index + 1, start, mid);
        build(2 * index + 2, mid + 1, end);
        tree[index] = tree[2 * index + 1] + tree[2 * index + 2];
    }

查询，

public int search(int index, int start, int end, int left, int right) {
        if (start > right || end < left) {
            return 0;
        }
        if (start >= left && end <= right) {
            return tree[index];
        }
        int mid = start + (end - start) / 2;
        return search(2 * index + 1, start, mid, left, right)
                + search(2 * index + 2, mid + 1, end, left, right);
    }

更新，

public void update(int index, int start, int end, int position, int value) {
        if (start == end) {
            tree[index] = value;
            return;
        }
        int mid = start + (end - start) / 2;
        if (position <= mid) {
            update(2 * index + 1, start, mid, position, value);
        } else {
            update(2 * index + 2, mid + 1, end, position, value);
        }
        tree[index] = tree[2 * index + 1] + tree[2 * index + 2];
    }

完整代码如下：

public class SegmentTree {

    int[] nums;
    int[] tree;
    int n;

    public SegmentTree(int[] nums) {
        n = nums.length;
        this.nums = nums;
        tree = new int[4 * n];
        build(0, 0, n - 1);
    }

    public void build(int index, int start, int end) {
        if (start == end) {
            tree[index] = nums[start];
            return;
        }
        int mid = start + (end - start) / 2;
        build(2 * index + 1, start, mid);
        build(2 * index + 2, mid + 1, end);
        tree[index] = tree[2 * index + 1] + tree[2 * index + 2];
    }

    public int search(int index, int start, int end, int left, int right) {
        if (start > right || end < left) {
            return 0;
        }
        if (start >= left && end <= right) {
            return tree[index];
        }
        int mid = start + (end - start) / 2;
        return search(2 * index + 1, start, mid, left, right)
                + search(2 * index + 2, mid + 1, end, left, right);
    }

    public void update(int index, int start, int end, int position, int value) {
        if (start == end) {
            tree[index] = value;
            return;
        }
        int mid = start + (end - start) / 2;
        if (position <= mid) {
            update(2 * index + 1, start, mid, position, value);
        } else {
            update(2 * index + 2, mid + 1, end, position, value);
        }
        tree[index] = tree[2 * index + 1] + tree[2 * index + 2];
    }
}

非递归实现：
非递归方式的实现就是从底向上依次构建树，查询与更新操作也是从底向上进行，对与递归方式的实现，则是从上往下，并且递归占用的空间也比较大，为防止越界，数组要开4倍n的大小。而非递归只需2倍n的大小即可。这里规定树的根节点下标从1开始，则任意节点index的左孩子可以表示为index << 1，右孩子表示为index << 1 | 1

建树，

public void build() {
        System.arraycopy(nums, 0, tree, n, n);
        for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
            tree[i] = tree[i << 1] + tree[i << 1 | 1];
        }
    }

查询，

public int search(int left, int right) {
        int sum = 0;
        left += n;
        right += n;
        while (left <= right) {
            if ((left & 1) == 1) {
                sum += tree[left];
                left++;
            }
            if ((right & 1) == 0) {
                sum += tree[right];
                right--;
            }
            left >>= 1;
            right >>= 1;
        }
        return sum;
    }

更新，

public void update(int position, int value) {
        position += n;
        tree[position] = value;
        while (position > 0) {
            int left = position;
            int right = position;
            if ((left & 1) == 0) {
                right++;
            } else {
                left--;
            }
            tree[position >> 1] = tree[left] + tree[right];
            position >>= 1;
        }
    }

完整代码为，

class SegmentTree {

    int[] nums;
    int[] tree;
    int n;

    public SegmentTree(int[] nums) {
        n = nums.length;
        this.nums = nums;
        tree = new int[2 * n];
        build();
    }

    public void build() {
        System.arraycopy(nums, 0, tree, n, n);
        for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
            tree[i] = tree[i << 1] + tree[i << 1 | 1];
        }
    }

    public int search(int left, int right) {
        int sum = 0;
        left += n;
        right += n;
        while (left <= right) {
            if ((left & 1) == 1) {
                sum += tree[left];
                left++;
            }
            if ((right & 1) == 0) {
                sum += tree[right];
                right--;
            }
            left >>= 1;
            right >>= 1;
        }
        return sum;
    }

    public void update(int position, int value) {
        position += n;
        tree[position] = value;
        while (position > 0) {
            int left = position;
            int right = position;
            if ((left & 1) == 0) {
                right++;
            } else {
                left--;
            }
            tree[position >> 1] = tree[left] + tree[right];
            position >>= 1;
        }
    }
}