题目描述
给你一个 n x n 矩阵 matrix ，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素。请注意，它是 排序后 的第 k 小元素，而不是第 k 个 不同 的元素。
示例 1：
输入：matrix = [[1,5,9],[10,11,13],[12,13,15]], k = 8 输出：13 解释：矩阵中的元素为 [1,5,9,10,11,12,13,13,15]，第 8 小元素是 13
示例 2：
输入：matrix = [[-5]], k = 1 输出：-5
解法一
要找第k小的元素，一种最常规的做法就是使用优先队列。
找第k小的元素，就保留k个最小的元素，其中最大的那个就是答案，所以可以使用最大优先队列。
遍历矩阵中的元素，将元素添加到队列中，如果队列中元素数目MaxPQ.size() > k，就将堆点最大的元素弹出。
遍历结束后弹出堆顶元素，就是最小的k个元素中最大的，即第k小的元素。
这里可以利用矩阵的有序性做一点小的优化：
如果在遍历的过程中，队列中的元素数目已经为k了，且如果当前元素大于堆顶元素，这个元素放入队列中还会被弹出，所以就没必要放入。
并且遍历的内循环是从某一行的从左到右遍历，当前元素的右边元素比当前元素更大，也没必要放入队列，所以当MaxPQ.size() == k && num > MaxPQ.peek()，直接打断内循环，进行下一行的遍历。
时间复杂度为O(n2log(k))，空间复杂度为O(k)
代码如下
public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {
PriorityQueue<Integer> MaxPQ = new PriorityQueue<>(Collections.reverseOrder());
for (int[] row : matrix) {
for (int num : row) {
if (MaxPQ.size() == k && num > MaxPQ.peek())
break;
MaxPQ.add(num);
if (MaxPQ.size() > k)
MaxPQ.remove();
}
}
return MaxPQ.remove();
}
解法二
由题目给出的性质可知，这个矩阵内的元素是从左上到右下递增的（假设矩阵左上角为 matrix[0][0]）。
我们知道整个二维数组中 matrix[0][0] 为最小值，matrix[n - 1][n - 1]为最大值，现在我们将其分别记作 l 和 r。
可以发现一个性质：任取一个数 mid 满足 ，那么矩阵中不大于 mid 的数，肯定全部分布在矩阵的左上角。
例如下图，取 mid=8
我们可以看到，矩阵中大于 mid 的数就和不大于 mid 的数分别形成了两个板块，沿着一条锯齿线将这个矩形分开。其中左上角板块的大小即为矩阵中不大于 mid 的数的数量。
可以这样描述走法：
初始位置在 matrix[n - 1][0]（即左下角）；
设当前位置为 matrix[i][j]。若 matrix[i][j]≤mid，则将当前所在列的不大于 mid 的数的数量（即 i + 1,就是当前列在左边界中的行数据量）累加到答案中，并向右移动，否则向上移动；
不断移动直到走出格子为止。
我们发现这样的走法时间复杂度为 O(n)，即我们可以线性计算对于任意一个 mid，矩阵中有多少数不大于它。这满足了二分查找的性质。
不妨假设答案为 x，那么可以知道l≤x≤r，这样就确定了二分查找的上下界。
每次对于「猜测」的答案 mid，计算矩阵中有多少数不大于 mid ：
如果数量不少于 k，那么说明最终答案 x 不大于 mid ；
如果数量少于 k，那么说明最终答案 x 大于 mid 。
这样我们就可以计算出最终的结果 x 了。
对 num += (i + 1);的理解代码如下
public int kthSmallest2(int[][] matrix, int k) {
int n = matrix.length;
int left = matrix[0][0];
int right = matrix[n - 1][n - 1];
while (left < right) {
int mid = left + ((right - left) /2);
if (check(matrix, mid, k, n)) {
right = mid;
} else {
left = mid + 1;
}
}
return left;
}
public boolean check(int[][] matrix, int mid, int k, int n) {
int i = n - 1;
int j = 0;
//num记录当前mid下左边界的数据量
int num = 0;
while (i >= 0 && j < n) {
if (matrix[i][j] <= mid) {
//就是当前列在左边界中的行数据量
num += (i + 1);
j++;
} else {
i--;
}
}
return num >= k;
}
