java 非 unicode 正则 非正则语言

文章目录

• 回顾子集构造（NFA →DFA）
• 正则语言的闭包结果

• 正则语言的 Union 依然是正则语言
• 正则语言的 concatenate
• 正则语言的 kleene~ star
• 正则语言的其他闭包性质
• 如何构造 DFA 的运算算法（构造 DFA 的交、并、补集）

• 如何构造最小的 DFA（指包括最少状态数的 DFA）

• 构造最小化 DFA 举例

• 正则表达式

• 正则表达式语法和语义
• 正则表达式举例
• 正则表达式和自动机（Regular Expression VS. Automata）

• 构造单个起始状态的 NFA

• 正则语言 →→ NFA 举例（单个起始状态）：(a ∪ b)^∗bc (a∪b)∗bc

• 构造单个 accept 状态的 NFA
• （兴趣读物：国内课本的方法）通过正则语言构造 NFA

• 正则语言 → →

• 化简 “单个” 起始和 accept 状态的 NFA

• 扩展

• 正则表达式的定理
• 正则语言的局限性
• 通过泵引理（Pumping Lemma）来验证正则语言
• 泵引理反证法实例

回顾子集构造（NFA$\rightarrow$DFA）

正则语言的闭包结果

正则语言的 Union 依然是正则语言

• $A,B$ 是两个正则语言，他们通过 $\epsilon$ 组成了一个 NFA ，他可以表示为 $A\cup B$；我们要在状态开始的时候使用 $\epsilon$ 来连接两个 DFA

正则语言的 concatenate $○$

• 图中下半部分表示第一个语言的某两种状态通过 $\epsilon$

正则语言的 $kleene~ star$

正则语言的其他闭包性质

• 两个正则语言的 intersection（交集）依然是正则语言
• 正则语言的补集（complement）依然是正则语言 $A, A^C$
• 正则语言的差集（difference）依然是正则语言 $A \setminus B$
• 正则语言的取反（reversal）依然是正则语言

如何构造 DFA 的运算算法（构造 DFA 的交、并、补集）

如何构造最小的 DFA（指包括最少状态数的 DFA）

• 因为我们无法保证通过某种算法可以得到最小的 DFA，如下图所示，我们不知道他是否为最简 DFA
• 但是由于 DFA 拥有唯一的起始状态，并且转移函数是固定的，因此我们可以测试两个 DFA 的等价性从而找出最小的 DFA
• 要构造最小的 DFA 要不断重复以下步骤

• 翻转 NFA
• 确定化结果
• 再翻转
• 再次确定化结果

• 翻转 NFA 的方式也很简单：

1. 那就是将所有的状态上的线调转方向
2. 将接受（accept）状态节点和初始节点（start）互换

构造最小化 DFA 举例

• 这是我们要最小化的 NFA, 我们在下面的步骤中通过它得到一个最小的 DFA



• 第一步： 翻转（1节点和 2 节点的功能互换，原本 1 是初始节点，2是accept 节点，现在调转一下 1 变成了 accept 节点，2 变成了初始节点）



• 第二步： 通过调转的 NFA 进行确定化得到当前状态下的 determinism 的结果



• 因为最终状态中 $5,6$ 包含原来的 $1$ 状态（即 accept 状态），因此，$5,6$
• 第三步 再次调转已经得到的 NFA ；$5,6$ 变成了起始状态；$4$ 变成了 accept 状态



• 第四步： 重复第二步的 determinism 得到最后的状态



• 
  

正则表达式

• 各种编程语言中几乎都涉及正则表达式
• $(0 ∪ 1)(0 ∪ 1)(0 ∪ 1)((0 ∪ 1)(0 ∪ 1)(0 ∪ 1))^∗$
• $*$

正则表达式语法和语义

正则表达式举例

正则表达式和自动机（Regular Expression VS. Automata）

构造单个起始状态的 NFA

• 正则表达式和有限状态的自动机是等价的，而且有限状态机的起始状态只能有一个
• 在下面的例子中，我们假设每个 NFA 的起始状态只有一个，那么对于一个多起始状态的 NFA $N$ 我们可以表示成若干个 $N^{$ 的通过 $\epsilon$ 的并联
• 这个式子$\delta^{$ 中，$q_i$ 代表的就是原本的 多个起始状态 $q$ 统一用 $q_i$ + $\epsilon$ 代替；而其他不是起始状态开始的节点则遵循原本的 $\delta$ 转换状态。

正则语言 $\rightarrow$ NFA 举例（单个起始状态）：$(a ∪ b)^∗bc$

• 国外的书籍和课件 是按照这种方式进行构造和转换的

构造单个 accept 状态的 NFA

• 可以看到下图的 $N$
• 汇总起始状态和将初始状态分开都同样使用 $\epsilon$
• 例如下图的例子：
• 图中的 $\delta^{$ 代表的就是将状态转换函数分成了两类：

• 如果是原来 accept 状态，那么就添加一个新的状态 $q_f$ 并且把原来所有的 accept 状态都通过 $\epsilon$
• 原来的其他状态则不需要进行调整，维持原本的样子

• 所以我们看到下图中的三个原本的 accept 状态都通过 $\epsilon$ 连到了新的 “唯一的 accpet” 状态 $q_f$

（兴趣读物：国内课本的方法）通过正则语言构造 NFA

• 当我们获得一个正则语言，我们如果要构造 NFA（单起始状态的），我们只需要不断重复下面 三个步骤 即可：（国内书籍版本）

• 将 concatenate 操作分成两个串联的部分
• 将 union （|）操作分成两个并联的部分
• 将闭包运算 * 分成第三种情况

正则语言 $\rightarrow$

化简 “单个” 起始和 accept 状态的 NFA

• 上文已经分别介绍了如何构造单个起始状态的 NFA 和 单个 accept 状态的 NFA
• 现在对于中间的状态进行重复地替换（使用正则表达式）以简化 NFA；方法就是把线上的 字符 用正则表达式来替换；并不断重复这个过程
• 如下图所示，我们的 NFA 现在已经是 单个起始状态和单个 accpet 状态；弧线上表示的 $R_1,R_2,...$ 都是 正则表达式，假设我们通过化简可以得到下面的两个 NFA 的表示 :

• $(R_1 ∪ R_2R_3^∗R_4)^∗R_2R_3^∗$
• $R^*$
  
  通过下面例子来进行演示：假设化简的是下面的例子

• 首先先把上面的两个 accept 状态的图转换成一个 accept 状态，根据上面的知识
• 通过正则表达式来替换线上的字符从而实现状态的化简：
• 再次通过正则表达式来合并中间的步骤
• 最终把中间状态逐渐换成正则表达式；得到了最简的 NFA
• 而上述的式子就相当于我们最开始引入的 $(R_1 ∪ R_2R_3^∗R_4)^∗R_2R_3^∗$
• 因此我们容易得到以下替换：

扩展

• 下图中表示的：一个进，一个出，一个循环的这种状态可以被固定的写成 $R_1R_2^∗R_3$

• 如果有 $m$ 个进入的弧线，$n$ 个出去的弧线，那么这些弧线可以被 $m×n$

正则表达式的定理

正则语言的局限性

$\{0^n1^n | n ≥ 0\} = \{\epsilon, 01, 0011, 000111, . . .\}$

• 对于上面的语言我们无法使用 DFA 来识别，即：他不是一个正则语言。

通过泵引理（Pumping Lemma）来验证正则语言

• pumping lemma 只能证明一个语言不是正则语言，不能证明一个语言是正则语言；即：满足 pumping lemma 不一定是正则语言，但是不满足 pumping lemma 一定不是正则语言

泵引理反证法实例