等额本息与等额本金问题的分析
一、问题分析
1.1 问题一的分析
针对问题一，首先通过所知信息得出关于等额本息和等额本金的数学关系式，构建相关的数学模型；其次，代入所给数据，算出每种情况下每月还款金额；最后，与每月还款能力，得出能否还清贷款，并得出借贷的最大款项。
1.2 问题二的分析
针对问题二，用问题一所建立模型，求提前还款时我们的欠款总额即可。
1.3 问题三的分析
问题三相对问题一与二的改变在于某一个月之后贷款月息的改变，我们同样需要在等额本金与等额本息的模型下求解，实际上针对两者我们模型与判断标准并没有太大的变化，但针对后者，由于月息的改变，每月还款金额也发生了改变，我们则需求出当月欠款总额而重新计算，然后再次利用相同模型进行求解与判断。
二、符号说明
符号 | 意义 | 单位 |
ni | 第i月还款的金额 | ￥ |
A | 本金 | ￥ |
N | 借款还清时间 | y |
β | 月利率 | ％ |
Si | 第i月欠款的金额 | ￥ |
三、问题一的模型建立与求解
3.1 模型的分析
等额本金的情况下，每月将还贷相同金额的本金金额。所以每月还款金额分为两部分，一部分为本月产生的利息，一部分为每月必须还贷的金额。
等额本息的情况下，每月还贷金额相同。通过计算，可以得出借款产生的所有金额，再根据还款时间，算出每月还贷金额。
3.2 每月还贷金额模型的建立
3.2.1 等额本金下模型的建立
已知本金A、借款时间N、月利率β
第一个月还款
n1=AN+A*β
第二个月还款
n2=AN+(A-AN）*β
以此类推
第i个月还款
ni=AN+A*β(1-i-1N）
（1）
3.2.2 等额本息下模型的建立
为求出贷款产生的所有金额，需通过本金（A）、借款时间(N)、月利率（β），求出每月欠款，再每个月相加得出所要支付的全部金额，最后算出平均每月还款金额。
第一个月欠款
A(1+β)-n1
第二个月欠款
[A(1+β)2-n2[1+(1+β)]
第三个月欠款
[A(1+β)3-n3[1+(1+β)+（1+β)2]
以此类推
第i个月欠款
[A1+βi-ni[1+(1+β)+1+β2+…+（1+β）i-1]
假设第i个月恰好还清，可以得出以下等式
A1+βi-ni[1+(1+β)+1+β2+…+（1+β）i-1]
=0
解得
ni=Aβ(1+β)i(1+β)i-1
由条件可知
n1=n2=…=ni=Aβ(1+β)i(1+β)i-1
（2）
3.3 模型的求解
3.3.1 贷款能否还清的分析
在等额本金的条件下，代入数据，已知月利息0.5%、数额为150000元，可得出每月还款的金额.
随着n0的增大，1-n0-1N
逐渐减小，即每个月还款金额逐渐减少。
由此可知：等额本金的条件下，判断第一个月是否能付清即能及时还清贷款。
故得出第一月还款为1375元，在等额本金的条件下，代入数据，已知月利息0.5%、数额为150000元，每月还款能力为2000元。因此，此人可以还清贷款。
在等额本金的条件下，代入数据，已知月利息0.5%、数额为150000元，每月还款能力为2000元，可得出每月还款的金额1074.64元，在等额本金的条件下，代入数据，已知月利息0.5%、数额为150000元，每月还款能力为2000元。因此，此人可以还清贷款。
3.3.2 贷款的最大金额
在等额本金的条件下，代入数据，已知月利息0.5%、每月还款能力为2000元，可得出最大金额为218181.81元。
在等额本息的条件下，代入数据，已知月利息0.5%、每月还款能力为2000元，可得出最大金额为279161.54元。
四、问题二的模型建立与求解
4.1 模型的分析
等额本金的情况下，每月将还贷相同金额的本金金额。所以还款几年后所欠款项为剩余的本金数。
等额本息的情况下，每月还贷金额相同。通过问题一，可得每月所欠的欠款，代入问题就能得出还款几年后剩余的金额。
4.2 每月欠款金额模型的建立
4.2.1 等额本金下模型的建立
已知本金A、借款时间N、月利率β
第一个月欠款
S1=A(1-AN*1）
以此类推
第i个月欠款
Si=A(1-AN*i）
（3）
4.2.1 等额本息下模型的建立
同问题一：
第i个月欠款
Si=[A1+βi-ni[1+(1+β)+1+β2+…+（1+β）i-1]
（4）
4.3 模型的求解
在等额本金的条件下月利息0.5%，已还期数120期，一次付清还应还的金额为
A-AN*i=
75000.00元
在等额本息的条件下月利息0.5%，已还期数120期，还款十年后一次付清还应还的金额为
[A1+βi-ni[1+(1+β)+1+β2+…+（1+β）i-1]
=96798.21元
五、问题三的模型建立与求解
5.1 模型的分析
等额本金的情况下，每月将还贷相同金额的本金金额。所以还款几年后所欠款项为剩余的本金数，再代入模型一。
等额本息的情况下，每月还贷金额相同。通过问题一，可得每月所欠的欠款，代入问题就能得出还款几年后剩余的金额，再带入模型一。
5.2 每月还贷金额模型的建立
5.2.1 等额本金下模型的建立
已知本金A、借款时间N、月利率β，过h年改变月利率为α
第h个月欠款
Sh=A1-AN*h
第i个月还款（i>h）
ni=A1-AN*hN+A1-AN*h*α(1-i-h-1N）
（5）
第i个月欠款（i>h）
Si=A1-AN*h(1-A1-AN*hN*i-h）
（6）
5.2.2 等额本息下模型的建立
已知本金A、借款时间N、月利率β，过h年改变月利率为α
第h个月欠款
Sh=[A1+βh-ni[1+(1+β)+1+β2+…+（1+β）h-1]
第i个月还款（i>h）
ni=[A1+βh-ni[1+(1+β)+1+β2+…+（1+β）h-1]α(1+α)i-h(1+α)i-h-1
（7）
第i个月欠款(i>h)
Si=[[A1+βh-ni[1+(1+β)+1+β2+…+（1+β）h-1]1+αi-h-ni[1+(1+α)+1+α2+…+（1+α）i-h-1]
（8）
5.3 模型的求解
5.3.1 还款五年后月息变为0.6%，贷款能否还清的分析
在等额本金的条件下，还款五年后的已还期数为60期，后续还应还银行金额为
A-ANi=
112500.00元
故此时所需求解的问题变为月息0.6% 、数额为112500 元的抵押贷款。如果每月可以还款2000元，能否在15年还款后还清贷款。（A=112500，N
=180，β
=6%）
代入数据，已知月利息0.6%、数额为112500.00元，可得出每月还款的金额.
随着n0的增大，1-n0-1N
逐渐减小，即每个月还款金额逐渐减少。
由此可知：等额本金的条件下，判断第一个月是否能付清即能及时还清贷款。
故得出第一月还款为625元，在等额本金的条件下，代入数据，已知月利息0.6%、数额为112500元，每月还款能力为2000元。因此，此人可以还清贷款。
在等额本息的条件下，还款五年后的已还期数为60期，后续还应还银行金额为
[A1+βi-ni[1+(1+β)+1+β2+…+（1+β）i-1]
=127349.86元
故此时所需求解的问题变为月息0.6% 、数额为127349.86元的抵押贷款。如果每月可以还款2000元，能否在15年还款后还清贷款。（A=112500，N
=180，β
=6%）
在等额本息的条件下，代入数据，已知月利息0.6%、数额为127349.86元，每月还款能力为2000元，可得出每月还款的金额1159.35元。因此，此人可以还清贷款。
5.3.2 还款五年后月息变为0.6%，贷款的最大金额
在等额本金的条件下，由3.3.4得，条件变为月息0.6% ，贷款期限为15年。代入数据，已知月利息0.6%，每月还款能力为2000元，可得出最大金额为173076.92元。
在等额本息的条件下，由3.3.4得，条件变为月息0.6% ，贷款期限为15年。
代入数据，已知月利息0.6%、每月还款能力为2000元，可得出最大金额为219769.11元
5.3.3 还款五年后月息变为0.6%，已还款十年了，一次付清，还应还银行的金额
在等额本金的条件下，由3.3.4所需求解的问题变为月息0.6% 、数额为112500 元的抵押贷款。期数为180期，已还款五年了，一次付清，还应还银行的金额（A=112500，N
=180，β
=6%）在等额本金的条件下，还款五年后的已还期数为60期，后续还应还银行金额为
A-ANi=75000元
在等额本息的条件下，由3.3.4所需求解的问题变为月息0.6% 、数额为127349.86 元的抵押贷款。期数为180期，已还款五年了，一次付清，还应还银行的金额（A=112500，N
=180，β
=6%）在等额本息的条件下，还款五年后的已还期数为60期，后续还应还银行金额为
[A1+βi-ni[1+(1+β)+1+β2+…+（1+β）i-1]=98905.74元
