1、单自由度系统的振动及 matlab 分析 摘要：以弹簧质量系统为力学模型,研究单自由度系统的特性有着非常普遍的实际意义。根据单自由度振动系统数学模型,利用 Matlab 软件设计了单自由度振动系统的数学仿真实验。通过实验可以得到单自由度振动方程的数值关键字：有阻尼自由振动、有阻尼自由振动、matlab正文：无阻尼自由振动:如图所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述：图 1(1-1)0kxm令 ，方程的通解为mkn2(1-2)tbtaxnncossi式(1-2)表示了图示(1)中质量 m 的位置随时间而变化的函数关系，反映了振动的形式与特点，称为振动函数。式(1-2)中， a、 b 为积分。

2、常数，它决定于振动的初始条件。如假定 t=0 时，质量块的位移 x=x0，其速度 ,则0Vx 00,xban即(1-3)txtVxnncossi00或写成(1-4))sin(tAx，20)(Vn 0tanVx其中 A 为振幅， 为振动圆频率， 为相位角， (赫兹)称为固有频率。n)2(/nf固有频率与外界给予的初始条件无关，它是系统本身所具有的一种重要特性。有阻尼自由振动图 1 所示的自由振动中，由于系统的能量守恒，如果振动一旦发生，它就会持久的，等幅的一直进行下去。但是，实际上所遇到的自由振动都是逐渐衰减而至最终停止的，即系统存在阻尼。阻尼有相对运动表面的摩擦力，液体与气体的介质阻力，电磁阻。

3、力以及材料变形时的内阻力等。图 2 所示为考虑了阻尼的单自由度振动系统模型。其运动微分方程为(2-1)0kxcm令 ，则2,nkc(2-2)2xxn其通解为(2-3))2(221nnnt ece式中 c1、c 2为积分常数，由振动初始条件确定。令 ， 称为相对阻尼系数或阻尼率。则式 (2-3)可写为n(2-4))(121122 ttt nnn ececx由此可以讨论阻尼对系统的自由振动产生的影响。一、当 时，称为弱阻尼状态1此时， 为虚数，式 (2-4) 变为2(2-5))(2211 titit nnn ececx利用欧拉公式，式(2-5)可写为(2-6)sios 22tatbAnntn 图图。

4、 2括号内为两个简谐振动相加,即式 (2-5) 可写为(2-7))1sin(2tAexnt )1arct(,)( 00222020 xVxVnnn 由式(2-7)可以看出，弱阻尼自由振动具有如下几种特性:它是一个简谐振动，振动的频率为 ，这是 为无阻尼时系统的固有频率。n21n一般情况下， 常在 0.1 左右，因此对固有频率的影响不大，即认为 。 n212. 振动的振幅为 ，其中 、 、 皆为定值。所以振幅随时间变化的规律是tnAen一条指数递减曲线(图 3)。二、当 时，称为强阻尼状态1此时，式(1.2.2-4)可写成(2-8)12)()1(0202 0201 )1()( 2nnnnttxV。

5、cececxnn由于 ，故式(2-8 )中二项指数皆为实数。又因为 ，故二项之指012 12数皆为负值，所以，式(2-8)所表示的是一根指数递减曲线。这表示系统将不再产生前面所述的振动，而是产生一按指数规律衰减的曲线。三、当 时，称为临界阻尼状态 3 4 5 6 8 9 0 0 0 0 0 ) 图 3 由于 ， ，则有1nn(2-9) kmmcn22这里 cc 为临界阻尼状态下的阻尼系数，称为临界阻尼系数。显然它是系统本身所具有的特性之一。由 及 ，有 。也就是说，相对阻尼系数 (阻尼率)nn2nc2c反映了系统的实际阻尼与临界阻尼的关系。在临界阻尼状态下，有(2-10)(21tcextn其中。

6、 。显然，在这种状态下不能形成振动。0201,Vcxn有阻尼自由振动响应计算与 MATLAB 实现根据式(2-7)、(2-8)、(2-10) 编写的程序如下：function VTB1(m,c,k,x0,v0,tf)%VTB1用来计算单自由度有阻尼自由振动系统的响应%VTB1绘出单自由度有阻尼自由振动系统的响应图%m为质量;c为阻尼;k为刚度;x0为初始位移;v0为初始速度;tf为仿真时间%VTB1(zeta,w,x0,v0,tf)绘出单自由度有阻尼自由振动系统的响应图%zeta为阻尼系数; n为固有频率%程序中z为阻尼系数;A为振动幅度;phi为初相位clc%该循环确定输入方式是VTB1(m。

7、,c,k,x0,v0,tf),还是%VTB1(zeta,w,x0,v0,tf)if nargin=5z=m;wn=c;tf=v0;v0=x0;x0=k;m=1;c=2*z*w;k=w2;endwn=sqrt(k/m);%固有频率z=c/2/m/wn;wd=wn*sqrt(1-z2);fprintf(固有频率为%.3g.rad/s.n,wn);fprintf(阻尼系数%.3g.n,z);fprintf(有阻尼的固有频率%.3g.n,wd);t=0:tf/1000:tf;if zVTB1(1,0.05,1,1,1,100)则显示固有频率为 1(rad/s),阻尼系数 0.03，幅值为 A=1.43。

8、 相位角为nphi=0.773。其响应曲线如图 (4) 所示。程序中 if 语句就是判断 大小的，即判断是弱阻尼状态、强阻尼状态还是临界阻尼状态。如果运行VTB1(1,2,1,0.1,1,20)，则显示固有频率为 1(rad/s) ，阻尼系数 1。其响应曲线如图 (5) 所示。如果要想求出振n 动的速度 (=xd)和加速度 (=xdd)，只要式(2-1)、式(2-2)、式(2-10)分别进行求导，在xx程序中加入相应的内容，最后增加 plot(t,xd)，plot(t,xdd)即可给出速度和加速度图。图 4参考文献：【1】 倪振华 振动力学【2】 刘习军、张文德 工程振动与测试技术【3】 百度文库 单自由度体系的振动图 5。