欧几里得几何学(Euclidean Geometry)
两千三百年前，古希腊数学家欧几里得著成了《几何原本》，构建了被后世称为“欧几里得几何学”的研究图形的方法。欧几里得创立了当时颇为独特的公理系统，即首先提出一些显然的、不言自明的公理。
比如，他提出了“三角形的内角和一定等于一百八十度”的定理，他的许多几何计算也是基于此，并且看起来颇为正确。但是后来的数学家对此产生了质疑，认为这个定理是缘于经验而并非真理。那么，把不遵从欧几里德公里系统的几何学，也取了个相对应的名字，叫“非欧几里德几何学”（non-Euclidean Geometry）。
欧几里德几何对空间物体的刻画，是基于某个维度上的内积(Inner Product)。对于空间中的一些点或线，我们感兴趣的是它们的距离、角度等等属性，这可以通过求其内积获得。例如，在二维空间里两个向量X=(x1, x2)和Y=(y1, y2)的距离为x1*y1+x2*y2。也就是等于内积<X, Y>。此公式可以推广到三维空间，甚至是大于三维的空间。因此欧几里德空间也被称为“有限维实内积空间”。
然而，就如同三角形的内角和问题一样，在使用中也发现了欧几里德空间的局限性。这就必须先从拓扑学谈起。
拓扑学（Topology）
“拓扑学家就是不会区分甜甜圈和咖啡杯的人。” -John L. Kelley
“拓扑”这个词在希腊语中的意思是地貌。拓扑学是研究几何体连续形变中保持不变的性质。比如下面链接里介绍的“亏格”。无论怎么变形，亏格不同的对象都无法变成同一个模样。亏格就是一个拓扑不变量。
亏格
而连续的变换最后都能变成一样的两个物体，称为同胚（Homeomorphism）。 从这个角度上说，甜甜圈与有一只把手的杯子等价（都只有一个洞）。但是事实上，杯子无法捏成甜甜圈的模样，因为杯子都是瓷或塑料做的，它们都太硬。相对的，在拓扑学中研究的对象，都必须是“柔软”的，从某种意义上说就像可以流动的液体一样。然而，在传统的、基于内基的欧几里德空间（比如笛卡尔坐标系）中，得出甜甜圈等于杯子的结论是不可想象的。相应的，把基于欧几里德空间的几何学称为是“坚硬”的。
所以，在拓扑学中必须定义一个特殊的柔软的概念。
流形（Manifold）
流形这个名字来源于十九世纪德国数学家黎曼（Riemann ）。流形的德语原名是Mannigfaltigkeit，意思是“多样性”。
下面一个问题是，该如何精确地描述这种柔软多变的流形呢？
这种灵感来源于地图集(Atlas)。假设你要做一份详细的中国地图, 有两个难点。第一是不可能把所有的地图细节包含在一张纸内，所以不同的城市要画在不同的页（Chart）上。然后，给出比例尺，再告诉读者从天津往西北方向的地图是北京等等。
第二个问题更加棘手，它源自于地图本身的局限性。我们很容易知道从上海往西走可以到乌鲁木齐。但是，假设从上海坐船往东，穿过北美、欧洲大陆，同样可以到达乌鲁木齐。用此逻辑，从任何一个地点出发，往任何方向前进，都可以回到原点，这是地图无法表达的。
把地图和拓扑的问题比较，某一张地图就好像一个笛卡尔坐标系，在局部的讨论中是成立的。就好比拿着北京地图从西直门走到西单，无论如何也是没有歧义的。但是扩大到整个地球（流形）就不成立了。
于是以地图集的概念描述一个流体：把流体的任何一个微小的局部看作是欧几里德空间，称为一个chart。无限多这样的chart拼接起来，就成了地图集atlas。
同时可以看出这样定义的流形，要求在某个任何小的空间里，它必须是"简单"的。试想可以把一个柿子看作一个流形，但某天它发霉了，长了一根毛（看作一条线），就不能看作流形了。因为考虑这个柿子长毛的那个微小区域，无法用一个chart描述。
事实上，地球的经纬度就可以看作一个坐标系。可以看出，在纬度最高的地方（南北极），方向是无法定义的。这也是欧几里德空间对于流体的局限性。
另外必须指出，对于同一个流体，可以通过选取不同的图（或者说是投影）来定义不同的地图集。
同在欧几里德空间里一样，流形也是有维度的，这个维度在局部里定义。如果流形的图是n维的，那么这个图被称为n维流形。比如球面的任意一个细小的局部是一个2维平面，那么球面就是一个2维流形。
从以上例子也可以看出，流形的维度同它在欧几里德空间的个体（3维）比较是下降了。直观来看，因为在曲面上的运动本来就也只有两个自由度。通常对于笛卡儿坐标系的曲面，可以找到对应的低维度流形坐标，这个过程叫做参数化（Parameterization）。
