折半查找判定树：
判定树：折半查找的过程可以用二叉树来描述，
树中的每个结点对应有序表中的一个记录，
结点的值为该记录在表中的位置。
通常称这个描述折半查找过程的二叉树为折半查找判定树，简称判定树。
判定树的构造方法：
⑴ 当n=0时，折半查找判定树为空；
⑵ 当n＞0时，
折半查找判定树的根结点为mid=(n+1)/2，
根结点的左子树是与有序表r[1] ~ r[mid-1]相对应的折半查找判定树，
根结点的右子树是与r[mid+1] ~ r[n]相对应的折半查找判定树
判定树的特点：
任意两棵折半查找判定树，若它们的结点个数相同，则它们的结构完全相同
具有n个结点的折半查找树的高度为
判定树的性质：
任意结点的左右子树中结点个数最多相差1
任意结点的左右子树的高度最多相差1
任意两个叶子所处的层次最多相差1
折半查找性能分析：
查找成功：在表中查找任一记录的过程，即是折半查找判定树中从根结点到该记录结点的路径，和给定值的比较次数等于该记录结点在树中的层数。
查找成功时的平均查找长度ASL：
查找不成功：
查找失败的过程就是走了一条从根结点到外部结点的路径，
和给定值进行的关键码的比较次数等于该路径上内部结点的个数（失败情况下的平均查找长度等于树的高度）。
二叉排序树（Binary Search Tree）：
二叉排序树（也称二叉查找树）：或者是一棵空的二叉树，或者是具有下列性质的二叉树：
⑴若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
⑵若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
⑶ 它的左右子树也都是二叉排序树。
#include <iostream>
using namespace std;
template <class DataType>
struct BiNode{ DataType data; BiNode *lchild, *rchild; };
class BiSortTree {
public:
BiSortTree(int a[ ], int n); //建立查找集合a[n]的二叉排序树
~ BiSortTree( ){ Release(root); } //析构函数，同二叉链表的析构函数
void InOrder( ){InOrder(root);} //中序遍历二叉树
BiNode *InsertBST(int x) {return InsertBST(root, x);} //插入记录x
BiNode *SearchBST(int k) {return SearchBST(root, k);} //查找值为k的结点
void DeleteBST(BiNode *p, BiNode *f ); //删除f的左孩子p
private:
void Release(BiNode *bt);
BiNode *InsertBST(BiNode *bt , int x);
BiNode *SearchBST(BiNode *bt, int k);
void InOrder(BiNode *bt); //中序遍历函数调用
BiNode *root; //二叉排序树的根指针
};二叉排序树的插入算法：
若二叉排序树为空树，则新插入的结点为新的根结点；
否则，如果插入的值比根节点值大，则在右子树中进行插入；否则，在左子树中进行插入。
递归。
BiNode *BiSortTree::InsertBST(BiNode *bt, int x)
{
if (bt == NULL) { //找到插入位置
BiNode *s = new BiNode;
s->data = x;
s->lchild = NULL;
s->rchild = NULL;
bt = s;
return bt;
}
else if (bt->data > x)
bt->lchild = InsertBST(bt->lchild, x);
else
bt->rchild = InsertBST(bt->rchild, x);
}二叉排序树的删除：
在二叉排序树上删除某个结点之后，仍然保持二叉排序树的特性。
分三种情况讨论：
1.被删除的结点是叶子；
2.被删除的结点只有左子树或者只有右子树；
3.被删除的结点既有左子树，也有右子树。
情况1——被删除的结点是叶子结点
操作：将双亲结点中相应指针域的值改为空。
情况2——被删除的结点只有左子树或者只有右子树
操作：将双亲结点的相应指针域的值指向被删除结点的左子树（或右子树）。
情况3——被删除的结点既有左子树也有右子树
操作：以其前驱（左子树中的最大值）替代之，然后再删除该前驱结点。
void BiSortTree::DeleteBST(BiNode<int> *p, BiNode<int> *f ) {
if (!p->lchild && !p->rchild) {
if(f->child==p) f->lchild= NULL;
else f->lchild= NULL;
delete p;
}
else if (!p->rchild) { //p只有左子树
if(f->child==p) f->lchild=p->lchild;
else f->rchild=p->lchild;
delete p;
}
else if (!p->lchild) { //p只有右子树
if(f->child==p) f->lchild=p->rchild;
else f->rchild=p->rchild;
delete p;
}
else { //左右子树均不空
par=p; s=p->rchild;
while (s->lchild!=NULL) //查找最左下结点
{
par=s;
s=s->lchild;
}
p->data=s->data;
if (par==p) p->rchild=s->rchild; //处理特殊情况
else par->lchild=s->rchild; //一般情况
delete s;
} //左右子树均不空的情况处理完毕
}二叉排序树的查找：
在二叉排序树中查找给定值k的过程是：
⑴ 若root是空树，则查找失败；
⑵ 若k＝root->data，则查找成功；否则
⑶ 若k＜root->data，则在root的左子树上查找；否则
⑷ 在root的右子树上查找。
上述过程一直持续到k被找到或者待查找的子树为空，如果待查找的子树为空，则查找失败。
二叉排序树的查找效率在于只需查找二个子树之一。
BiNode *BiSortTree::SearchBST(BiNode<int> *root, int k)
{
if (root==NULL)
return NULL；
else if (root->data==k)
return root;
else if (k<root->data)
return SearchBST(root->lchild, k);
else
return SearchBST(root->rchild, k);
}平衡二叉树（AVL树）:
基本思想：
在构造二叉排序树的过程中，每插入一个结点时，首先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，
若是，
则找出最小不平衡子树，
在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。
平衡二叉树：或者是一棵空的二叉排序树，或者是具有下列性质的二叉排序树：
⑴ 根结点的左子树和右子树的深度最多相差1;
⑵ 根结点的左子树和右子树也都是平衡二叉树。
平衡因子：结点的平衡因子是该结点的左子树的深度与右子树的深度之差。
最小不平衡子树：
在平衡二叉树的构造过程中，以距离插入结点最近的、且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树。
设结点A为最小不平衡子树的根结点，对该子树进行平衡调整归纳起来有以下四种情况：
- LL型
- RR型
- LR型
- RL型
m阶B－树：是满足下列特性的树：
(1) 树中每个结点至多有m棵子树；
(2) 若根结点不是终端结点，则至少有两棵子树；
(3) 除根结点外，其他非终端结点至少有m/2 棵子树；
(4)所有非终端结点都包含以下数据：
（n，A0，K1，A1，K2，…，Kn，An）
其中，n（m/2 1≤n≤m 1）为关键码的个数；
Ki（1≤i≤n）为关键码，且Ki＜Ki+1（1≤i≤n-1）；
Ai（0≤i≤n）为指向子树根结点的指针，且指针Ai所指子树中所有结点的关键码均小于Ki+1大于Ki。
(5)所有叶子结点都在同一层上，B树是高平衡的。
特点：
对于阶数相同的两棵树，每个节点所包含的分支数的定义相同（不能少于m/2,不能多于m)
每个节点所包含的关键字的个数不同
B-树中，关键字不重复出现；B+树中，叶子节点存放所有的关键字，内部结点存储着其后继节点中最大的关键字
插入操作都会引起节点的分裂
删除操作都会引起节点的合并
B-树适用于随机检索；B+树支持随机和顺序检索
