本文主要翻译并整理自 songho OpenGL Projection Matrix一文，这里对他的推导思路稍微进行了整理。
通过本节可以了解到
- 透视投影矩阵的推导
- 正交投影矩阵的 推导
- 视口变换矩阵的推导
- zFighting问题
投影变换
OpenGL最终的渲染设备是2D的，我们需要将3D表示的场景转换为最终的2D形式，前面使用模型变换和视变换将物体坐标转换到照相机坐标系后，需要进行投影变换，将坐标从相机—》裁剪坐标系，经过透视除法后，变换到规范化设备坐标系(NDC)，最后进行视口变换后，3D坐标才变换到屏幕上的2D坐标，这个过程如下图所示：
投影变换通过指定视见体(viewing frustum)来决定场景中哪些物体将可能会呈现在屏幕上。在视见体中的物体会出现在投影平面上，而在视见体之外的物体不会出现在投影平面上。投影包括很多类型，OpenGL中主要考虑透视投影(perspective projection)和正交投影( orthographic projection)。两者之间存在很大的区别，如下图所示(图片来自Modern OpenGL)：
上面的图中，红色和黄色球在视见体内，因而呈现在投影平面上，而绿色球在视见体外，没有在投影平面上成像。
指定视见体通过(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble nearVal, GLdouble farVal)6个参数来指定。注意在相机坐标系下，相机指向-z轴，nearVal和farVal表示的剪裁平面分别为:近裁剪平面z=−nearValz=−nearVal，以及远裁剪平面z=−farValz=−farVal。推导投影矩阵，就要利用这6个参数。在OpenGL中成像是在近裁剪平面上完成。
透视投影矩阵的推导
透视投影中，相机坐标系中点被映射到一个标准立方体中，即规范化设备坐标系中，其中[l,r]映射到[−1,1][l,r]映射到[−1,1]，[b,t][b,t]映射到[-1,1]中，以及[n,f][n,f]被映射到[−1,1][−1,1]，如下图所示：
注意到上面的相机坐标系为右手系，而NDC中+z轴向内，为左手系。
我们的目标
求出投影矩阵的目标就是要找到一个透视投影矩阵P使得下式成立：
⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=P∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥[xcyczcwc]=P∗[xeyezewe]
⎡⎣⎢xnynzn⎤⎦⎥=⎡⎣⎢xc/wcyc/wczc/wc⎤⎦⎥[xnynzn]=[xc/wcyc/wczc/wc]
上面的除以wclipwclip过程被称为透视除法。要找到我们需要的矩阵P，我们需要利用两个关系:
- 投影位置xpxp,ypyp和相机坐标系中点xexe,ye之间关系。投影后对于z分量都是ye之间关系。投影后对于z分量都是z_{p}=-nearVal$。
- 利用xpxp，ypyp和xndc，yndcxndc，yndc关系求出xclip,yclipxclip,yclip。
- 利用znzn与zeze关系得出zclipzclip
计算投影平面上的位置
投影时原先位于相机坐标系中的点p=(xe,ye,ze)p=(xe,ye,ze)投影到投影平面后，得到点p′=(xp,yp,−nearVal)p′=(xp,yp,−nearVal)。具体过程如下图所示：
需要空间想象一下，可以得出左边的图是俯视图，右边是侧视图。
利用三角形的相似性，通过俯视图可以计算得到:
xpxe=−nzexpxe=−nze
即:xp=xen−ze(1.1)(1.1)xp=xen−ze
同理通过侧视图可以得到：
yp=yen−ze(1.2)(1.2)yp=yen−ze
由(1)(2)这个式子可以发现，他们都除以了−ze−ze这个量，并且与之成反比。这可以作为透视除法的一个线索，因此我们的矩阵P的形式如下：
⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢...0...0...−1...0⎤⎦⎥⎥⎥∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥[xcyczcwc]=[............00−10]∗[xeyezewe]
也就是说wc=−zewc=−ze。
下面利用投影点和规范化设备坐标的关系计算出矩阵P的前面两行。
对于投影平面上xpxp满足[l,r][l,r]线性映射到[−1,1][−1,1]对于ypyp满足[b,t][b,t]线性映射到[−1,1][−1,1]。
其中xpxp的映射关系如下图所示：
则可以得到xpxp的线性关系：
xn=2r−lxp+β(1.3)(1.3)xn=2r−lxp+β
将(r,1)带入上式得到：
β=−r+lr−lβ=−r+lr−l
带入式子3得到：
xn=2r−lxp−r+lr−l(1.4)(1.4)xn=2r−lxp−r+lr−l
将式子1带入式子5得到：
xn=2xenr−l∗1−ze−r+lr−l=(2xenr−l+r+lr−l∗ze)−ze(1.5)(1.5)xn=2xenr−l∗1−ze−r+lr−l=(2xenr−l+r+lr−l∗ze)−ze
由式子6可以得到:
xc=2nr−lxe+r+lr−l∗ze(1.6)(1.6)xc=2nr−lxe+r+lr−l∗ze
对于ypyp的映射关系如下：
同理也可以计算得到:
yn=2yent−b∗1−ze−t+bt−b=(2yent−b+t+bt−b∗ze)−ze(1.7)(1.7)yn=2yent−b∗1−ze−t+bt−b=(2yent−b+t+bt−b∗ze)−ze
yc=2nt−bye+t+bt−b∗ze(1.8)(1.8)yc=2nt−bye+t+bt−b∗ze
由式子7和9可以得到矩阵P的前两行和第四行为：
⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢2nr−l0.002nt−b.0r+lr−lt+bt−b.−100.0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥[xcyczcwc]=[2nr−l0r+lr−l002nt−bt+bt−b0....00−10]∗[xeyezewe]
由于zeze投影到平面时结果都为−n−n，因此寻找znzn与之前的x,y分量不太一样。我们知道znzn与x,y分量无关，因此上述矩阵P可以书写为：
⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢2nr−l00002nt−b00r+lr−lt+bt−bA−100B0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥[xcyczcwc]=[2nr−l0r+lr−l002nt−bt+bt−b000AB00−10]∗[xeyezewe]
则有：zn=Aze+Bwe−zezn=Aze+Bwe−ze,由于相机坐标系中we=1we=1，则可以进一步书写为：
zn=Aze+B−ze(1.9)(1.9)zn=Aze+B−ze
要求出系数A,B则，利用znzn与zeze的映射关系为：(-n，-1)和(-f,1)，代入式子10得到：
A=−f+nf−nA=−f+nf−n和B=−2fnf−nB=−2fnf−n，
则znzn与zeze的关系式表示为：
zn=−f+nf−nze−2fnf−n−ze(1.10)(1.10)zn=−f+nf−nze−2fnf−n−ze
将A，B代入矩阵P得到：
P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢2nr−l00002nt−b00r+lr−lt+bt−b−(f+n)f−n−100−2fnf−n0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥(透视投影矩阵)(透视投影矩阵)P=[2nr−l0r+lr−l002nt−bt+bt−b000−(f+n)f−n−2fnf−n00−10]
上述矩阵时一般的视见体矩阵，如果视见体是对称的，即满足r=−l,t=−br=−l,t=−b，则矩阵P可以简化为：
P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢nr0000nt0000−(f+n)f−n−100−2fnf−n0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥(简化的透视投影矩阵)(简化的透视投影矩阵)P=[nr0000nt0000−(f+n)f−n−2fnf−n00−10]
使用Fov指定的透视投影
另外一种经常使用 的方式是通过视角(Fov)，宽高比(Aspect)来指定透视投影，例如旧版中函数gluPerspective，参数形式为：
API void gluPerspective(GLdouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble zNear, GLdouble zFar);
其中指定fovy指定视角，aspect指定宽高比，zNear和zFar指定剪裁平面。fovy的理解如下图所示(来自opengl 投影)：
这些参数指定的是一个对称的视见体，如下图所示(图片来自Working with 3D Environment)：
由这些参数，可以得到：
h=near∗tan(θ2)h=near∗tan(θ2)
w=h∗aspectw=h∗aspect
对应上述透视投影矩阵中：
r=−l,r=wr=−l,r=w
t=−b,t=ht=−b,t=h
则得到透视投影矩阵为：
P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢cot(θ2)aspect0000cot(θ2)0000−(f+n)f−n−100−2fnf−n0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(Fov透视投影矩阵)(Fov透视投影矩阵)P=[cot(θ2)aspect0000cot(θ2)0000−(f+n)f−n−2fnf−n00−10]
正交投影矩阵的推导
相比于透视投影，正交投影矩阵的推导要简单些，如下图所示：
对于正交投影，有xp=xe,yp=yexp=xe,yp=ye，因而可以直接利用xexe与xnxn的映射关系：[l,−1],[r,1][l,−1],[r,1]，利用yeye和ynyn的映射关系：[b,−1],[t,1][b,−1],[t,1]，以及zeze和znzn的映射关系：[−n,−1],[−f,1][−n,−1],[−f,1]。例如xexe与xnxn的映射关系表示为如下图所示：
利用[l,−1],[r,1][l,−1],[r,1]得到:
xn=2r−lxe−r+lr−l(2.1)(2.1)xn=2r−lxe−r+lr−l
同理可得到y,z分量的关系式为：
yn=2t−bye−t+bt−b(2.2)(2.2)yn=2t−bye−t+bt−b
zn=−2f−nze−f+nf−n(2.3)(2.3)zn=−2f−nze−f+nf−n
对于正交投影而言，w成分是不必要的，保持为1即可，则所求投影矩阵第四行为(0,0,0,1)，w保持为1，则NDC坐标和剪裁坐标相同，从而得到正交投影矩阵为:
O=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢2r−l00002t−b0000−2f−n0−r+lr−l−t+bt−b−f+nf−n1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥(正交投影矩阵)(正交投影矩阵)O=[2r−l00−r+lr−l02t−b0−t+bt−b00−2f−n−f+nf−n0001]
如果视见体是对称的，即满足r=−l,t=−br=−l,t=−b，则矩阵O可以简化为：
O=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1r00001t0000−2f−n000−f+nf−n1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥(简化正交投影矩阵)(简化正交投影矩阵)O=[1r00001t0000−2f−n−f+nf−n0001]
利用平移和旋转推导正交投影矩阵
还可以看做把视见体的中心移动到规范视见体的中心即原点处，然后缩放视见体使得它的每条边长度都为2，进行这一过程的变换表示为：
O=S(2/(r−l),2/(t−b),2/(near−far))∗T(−(r+l)/2,−(t+b)/2,(f+n)/2)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢2r−l00002t−b00002n−f00001⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥∗⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢100001000010−r+l2−t+b2f+n21⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢2r−l00002t−b0000−2f−n0−r+lr−l−t+bt−b−f+nf−n1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥O=S(2/(r−l),2/(t−b),2/(near−far))∗T(−(r+l)/2,−(t+b)/2,(f+n)/2)=[2r−l00002t−b00002n−f00001]∗[100−r+l2010−t+b2001f+n20001]=[2r−l00−r+lr−l02t−b0−t+bt−b00−2f−n−f+nf−n0001]
视口变换矩阵的推导
视变换是将NDC坐标转换为显示屏幕坐标的过程，如下图所示：
视口变化通过函数:
glViewport(GLint sxsx , GLint sysy , GLsizei wsws , GLsizei hshs);
glDepthRangef(GLclampf nsns , GLclampf fsfs );
两个函数来指定。其中(sxsx,sysy)表示窗口的左下角，nsns和 fsfs指定远近剪裁平面到屏幕坐标的映射关系。
使用线性映射关系如下：
(−1,sx),(1,sx+ws)(x分量映射关系)(x分量映射关系)(−1,sx),(1,sx+ws)
(−1,sy),(1,sy+hs)(y分量映射关系)(y分量映射关系)(−1,sy),(1,sy+hs)
(−1,ns),(1,fs)(z分量映射关系)(z分量映射关系)(−1,ns),(1,fs)
求出线性映射函数为:
xs=ws2xn+sx+ws2(3.1)(3.1)xs=ws2xn+sx+ws2
ys=hs2yn+sy+hs2(3.2)(3.2)ys=hs2yn+sy+hs2
zs=fs−ns2zn+ns+fs2(3.3)(3.3)zs=fs−ns2zn+ns+fs2
则由上述式子得到视口变换矩阵为：
viewPort=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢ws20000hs20000fs−ns20sx+ws2sy+hs2ns+fs21⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥(视口变换矩阵)(视口变换矩阵)viewPort=[ws200sx+ws20hs20sy+hs200fs−ns2ns+fs20001]
Zfighting问题
回过头去看透视投影部分，znzn与zeze的关系式1.10：
zn=−f+nf−nze−2fnf−n−ze(1.10)(1.10)zn=−f+nf−nze−2fnf−n−ze
这是一个非线性关系函数，作图如下：
从左边图我们可以看到，在近裁剪平面附近znzn值变化比较大，精确度较好；而在远裁剪平面附近，有一段距离内，znzn近乎持平，精确度不好。当增大远近裁剪平面的范围[−n,−f][−n,−f]后，如右边图所示，我们看到在远裁剪平面附近，不同相机坐标zeze对应的znzn相同，精确度低的现象更为明显，这种深度的精确度引起的问题称之为zFighting。要尽量减小[-n,-f]的范围，以减轻zFighting问题。
