delta函数用python表示 delta 函数

文章目录

• $\delta$函数

• 常微分方程的Green函数

• 常微分方程的初值问题
• 常微分方程的边值问题

$\delta$函数

$\delta$函数，并不是通常意义下的函数：它并没有给出函数与自变量之间的对应关系。
它给出的对应关系在通常意义下是没有意义的
它所给出的“函数值”只是在积分运算中才有意义$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) \mathrm{d} x=f(0)$

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$\delta$函数也可以理解为（任意阶可微）函数序列的极限。

凡是具有$\lim _{l \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_{l}(x) \mathrm{d} x=f(0)$性质的函数序列$\delta_l(x)$，或是具有$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_{n}(x) \mathrm{d} x=f(0)$性质的函数序列$\delta_n(x)$，他们的极限都是$\delta$函数。

比如：$\delta(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-n^{2} x^{2}}$

$\delta(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\pi} \frac{1}{1+n^{2} x^{2}}$

$\delta(x)=\frac{\sin n x}{\pi x}$

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$\delta$函数的基本运算规则

1. $\delta$函数和常数c的乘积
   $\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) c \delta(x) \mathrm{d} x &=\int_{-\infty}^{\infty} c f(x) \delta(x) \mathrm{d} x \\ &=c f(0) \end{aligned}$
2. 平移变换，$x \rightarrow x-a$：
   $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-a) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty} f(t+a) \delta(t) \mathrm{d} t=f(a)$
3. 放大或缩小，$x \rightarrow \alpha x$：
   $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(\alpha x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty} f(t / \alpha) \delta(t) \frac{\mathrm{d} t}{|\alpha|}=\frac{1}{|\alpha|} f(0)$
   这意味着$\delta(\alpha x)=\frac{1}{|\alpha|} \delta(x)$
   特别是$\alpha=-1$时，$\delta(-x)=\delta(x)$
4. delta函数的导数：对于在x=0点连续并有连续导数的任意函数f(x),有
   $\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{\prime}(x) \mathrm{d} x &=f(x) \delta\left.(x)\right|_{-\infty} ^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty} f^{\prime}(x) \delta(x) \mathrm{d} x \\ &=-f^{\prime}(0) \end{aligned}$
   这里就把delta函数当作普通的连续函数一样进行分部积分。
5. delta函数的高阶导数：对于在x=0点连续并有n阶连续导数的任意函数f(x),有
   $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{(n)}(x) \mathrm{d} x=(-)^{n} f^{(n)}(0)$
6. delta函数与普通函数的乘积，$g(x) \delta(x)$：
   $\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(x) \delta(x) \mathrm{d} x &=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(x) \delta(x) \mathrm{d} x \\ &=f(0) g(0) \end{aligned}$
   即$f(x) \delta(x)=f(0) \delta(x)$
   例如 $x \delta(x)=0$

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Remarks
有关$\delta$函数的等式，均应从积分意义下去理解
对于$\delta$函数的运算，总是设法转移到“普通函数f(x)”上去
例如，对于$x \delta(x)=0$就应该理解为
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) x \delta(x) \mathrm{d} x=0$

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Exercise（答案见课本P394）
1 计算积分$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d} x$
2 计算积分$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin 2 x}{x^{2}+x+1} d x$

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$\delta$函数按完备函数组展开

Fourier展开
设有周期函数$f(x)$,$f(x)=f(x+2 \pi)$,且满足Dirichlet条件，则可以展开为$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n x}$
其展开系数为$c_{n}=\frac{1}{2 \pi} \int_{\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n x} \mathrm{d} x$
若将cn代回原级数，且交换积分与求和次序
$f(x)=\int_{-\pi}^{\pi} f(\xi)\left[\frac{1}{2 \pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n(x-\xi)}\right] \mathrm{d} \xi$
这表明

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常微分方程的Green函数

常微分方程的Green函数：初值问题
常微分方程的Green函数：边值问题

EX19.4 求解常微分方程初值问题

$\left.g\right|_{x=0}=0 \quad\left.\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right|_{x=0}=0$

解答：直接积分$\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}=\eta(x-t)+\alpha(t)$

再积分$g(x ; t)=(x-t) \eta(x-t)+\alpha(t) x+\beta(t)$

$\begin{array}{lll}{\left.g\right|_{x=0}=0} & {\Rightarrow \beta(t)=0} \\ {\left.\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right|_{x=0}=0} & {\Rightarrow \alpha(t)=0}\end{array}$

$g(x ; t)=(x-t) \eta(x-t)$

解析：题目的物理意义，$\frac{\mathrm{d}^{2} g}{\mathrm{d} x^{2}}$代表加速度，在质点所加的力，这个力旨在x=t这样的时刻给了一个脉冲性的力，总量：积分后等于1.初始位置是0，加了力以后才开始运动。

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有了EX19.4现在就可以求解下面的问题了

解答：因为$f(x)=\int_{0}^{\infty} f(t) \delta(x-t) \mathrm{d} t$，所以根据现行常微分方程解的叠加性，有（形式）解
$y(x)=\int_{0}^{\infty} g(x ; t) f(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$

常微分方程的初值问题

EX19.5 常微分方程的初值问题

$\left.g\right|_{x=0}=0 \quad\left.\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right|_{x=0}=0$

• 能否直接写出非齐次常微分方程的通解？
• 当$x \neq t$时，方程的非齐次项为0
• 求出区间$(0,t)$内既满足齐次方程、又满足齐次初始条件的解…一定为零解
• 写出区间$(t,\infty)$内齐次微分方程的解
• 由$x=t$点处的连续性的要求定出Green函数
  区间$(0,t)$内
  $\frac{\mathrm{d}^{2} g}{\mathrm{d} x^{2}}+k^{2} g=0$
  $\left.g\right|_{x=0}=0$
  $\left.\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right|_{x=0}=0$
  在$x=t$点
  $g\left.(x ; t)\right|_{t-0} ^{t+0}=0$
  $\left.\frac{d g}{d x}\right|_{t-0} ^{t+0}=1$
  区间$(t,\infty)$
  $\frac{d^{2} g}{d x^{2}}+k^{2} g=0$
  解：$g(x ; t)=[C(t) \sin k x+D(t) \cos k x] \eta(x-t)$
  $g(x ; t)$连续 $\left.\frac{\mathrm{d} g(x ; t)}{\mathrm{d} x}\right|_{t-0} ^{t+0}=1$
  $C(t)=\frac{1}{k} \cos k t \qquad D(t)=-\frac{1}{k} \sin k t$
  $g(x ; t)=\frac{1}{k} \sin k(x-t) \eta(x-t)$
  思考：现在能否写出如下非齐次方程的通解

也能将上例的解用于求解非齐次方程初值问题

$y(0)=0 \quad y^{\prime}(0)=0$

** $y(x)=\frac{1}{k} \int_{0}^{x} f(t) \sin k(x-t) \mathrm{d} t$

Remarks
对于一般的常微分方程初值问题的Green函数

$g(0 ; t)=0 \quad\left.\frac{d g(x ; t)}{d x}\right|_{x=0}=0$
且相应的齐次微分方程无奇点

• $g(x ; t)$在时一定为0
• $g(x ; t)$在$x=t$时一定连续
• $\left.\frac{\mathrm{d} g(x ; t)}{\mathrm{d} x}\right|_{t-0} ^{t+0}=\frac{1}{p(t)}$

常微分方程的边值问题

EX19.6 求解常微分方程的边值问题

$g(a ; t)=0 \quad g(b ; t)=0$

微分方程和EX19.4相同，故有相同的通解

$g(x ; t)=(x-t) \eta(x-t)+\alpha(t) x+\beta(t)$

$a \alpha(t)+\beta(t)=0 \quad b-t+b \alpha(t)+\beta(t)=0$

$\alpha(t)=-\frac{b-t}{b-a} \quad \beta(t)=\frac{a(b-t)}{b-a}$

$g(x ; t)=(x-t) \eta(x-t)-\frac{b-t}{b-a}(x-a)$

问题：

本例中的Green函数$g(x ; t)$是否仍然满足

$g(x ; t)$在$x=t$点连续

$\frac{\mathrm{d} g(x ; t)}{\mathrm{d} x}$在$x=t$点不连续$\left.\frac{d g(x ; t)}{d x}\right|_{t-0} ^{t+0}=1$