题目描述
有一个正整数和负整数组成的NxN矩阵，请编写代码找出元素总和最大的子矩阵。请尝试使用一个高效算法。
给定一个int矩阵mat和矩阵的阶数n，请返回元素总和最大的子矩阵的元素之和。保证元素绝对值小于等于100000，且矩阵阶数小于等于200。
测试样例：
[[1,2,-3],[3,4,-5],[-5,-6,-7]],3
返回：10
/*思路：
1.求子矩阵的最大和，首先得判定所有可能的子矩阵（纵向选定）
2.纵向选定后，将这块子矩阵按行累加压缩成一维，然后处理简单的一维（横向选定）
3.过程中有最大值出现即时更新即可
*/
public class SubMatrix {
public int sumOfSubMatrix(int[][] mat, int n) {
int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
int sum[] = new int[mat[0].length];
for(int i=0; i<mat.length; i++){//压缩的起点
for(int j=0; j<sum.length; j++) sum[j]=0;//每次更换起点sum就重置，感觉还可改进
for(int t=0; t<mat.length-i; t++){//步长，矩阵=起点+步长
for(int j=0; j<sum.length; j++) sum[j]+=mat[i+t][j];//求上述矩阵的压缩和
maxSum = Math.max(maxSum, getMaxSum(sum)); //压缩为一维求和，取最大值
}
}
return maxSum;
}
public int getMaxSum(int a[]){//常用，一维数组中连续子数组的最大和int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
int curSum = 0;
for(int i=0; i<a.length; i++){
curSum += a[i];
maxSum = Math.max(maxSum, curSum);
if(curSum<0) curSum=0;
}
return maxSum;
}
}
或者：
public int maxSubMatrix(int[][] mat, int n) {
// write code here
/*
* 法1.穷举
* 法2.贪心法
* 首先设置子矩阵的列数，得到二维矩阵row[][]，
* 其中row[i][j]表示第i行的第j列开始到j+row_len-1列的加和
* 对row[i][j]的每一列进行一维数组的最大序列和的计算，复杂度O(n)
* 最大序列和计算方式见q17_8
* 因此最终复杂度为0(n^3)
*/
int max = 0;
for(int row_len = n; row_len >= 1; row_len--){
int[][] row = new int[n][n-row_len+1];
for(int i = 0; i <= n-1; i++){
for(int j = 0; j<= n-row_len; j++){
row[i][j] = cal(mat, j, i, row_len);
}
}
//求每个一维子矩阵中的最大序列和
for(int i = 0; i < n-row_len+1; i++){
int sum = 0;
for(int j = 0; j < n; j++){
sum += row[j][i];
if(sum < 0){
sum = 0;
}else if(sum > max){
max = sum;
}
}
}
}
return max;
}
private int cal(int[][] mat, int start, int row_num, int len){
int cols = mat[0].length;
int sum = 0;
for(int i = start; i <= start+len-1; i++){
if(i < cols){
sum += mat[row_num][i];
}
}
return sum;
}
问题描述：
给定一个由整数组成二维矩阵（r*c），现在需要找出它的一个子矩阵，使得这个子矩阵内的所有元素之和最大，并把这个子矩阵称为最大子矩阵。
例子：
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其最大子矩阵为：
9 2
-4 1
-1 8
其元素总和为15。
假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵，如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始)：
| a11 …… a1i ……a1j ……a1n |
| a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ar1 …… ari ……arj ……arn |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ak1 …… aki ……akj ……akn |
| . . . . . . . |
| an1 …… ani ……anj ……ann | 那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下：
(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)
由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子断和问题，到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。
1、如果没有最大子段和问题的基础，最直接的办法，穷举法，对二维矩阵中所有子矩阵进行计算求得最大值，时间复杂度为(O(n^2*n^2))；
2、基于最大子段和问题，算出任意n行的和数组，转变成最大字段和进行处理，对于任意n行，如果采用各个处理的话，其时间复杂度相对较高，所以对和数组的处理是本题的又一关键；
3、压缩矩阵
下面举一个简单的例子。在一个一维的数列中，要想求从第i个元素到第j个元素的和，我们可以用这样的方法：设数组sum[i]表示从第1个到第i个元素的和，则：求从第i个元素到第j个元素的和，只需用sum[j]-sum[i]就足够了。由此推广到二维矩阵，设sum[i,j]表示矩阵第j列前i个元素的和，cost[i,j]表示原始数据，则：
压缩数据程序代码为：
for i:=1 to n do
for j:=1 to m do
sum[i,j]:=sum[i-1,j]+cost[i,j];
下一个问题是，如何将数据从压缩的数组中读出。
读取数据代码为：
for i:=0 to n-1 do
for j:=i+1 to n do
for k:=1 to n do temp[k]:=sum[j,k]-sum[i,k];
到此，最大子矩阵问题就完全转换为连续最大和问题。
