NamoCamp 每日一题 体育节 区间DP

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题目描述

学生会正在为体育节的接力赛做准备。学生会由 n个成员组成，他们将在比赛中一个一个地跑，第 $i$ 个人的速度是 $si$，第 i次接力会产生一个差异值 $d_i$，它的值是前 $i$个参与接力赛的人的速度最大值与最小值的差，也就是说，我们假设第$i$个参与比赛的人的速度是 $a_i$，那么 $d_i =\max(a_1,a_2,...,a_i) - \min(a_1,a_2,...,a_i)$。现在你可以任意安排参加比赛的人的顺序，一个人只能参与一次，且每个人都必须参与，请你求出$d_1+d_2+...+d_n$的最小值。

题解

首先考虑插入数字$a[i]$的影响：

• 如果$a[i]$是区间$\max$，那么新增$a[i] - min_{before}$
• 如果$a[i]$是区间$\min$，那么新增$max_{before} - a[i]$
• 如果都不是，那么新增$max_{before} - min_{before}$

那么显然，每插入一个区间最大值，新增极差的大小都会$up$，从贪心的角度考虑，我们应当尽可能晚的插入区间最大值。所以我们可以先对所有的$a_i$排序。

设$dp[l][r]$表示区间$[l,r]$的答案(和的最小值)。

考虑一段区间$[l, r]$的状态：显然可以由($con(x)$表示$x$的贡献)：

1. $con(a[l]) + dp[l + 1][r]$
2. $con(a[r]) + dp[l][r - 1]$

两个状态转移而来。同时由于我们对整个序列进行过排序，那么可以得知：
$con(a[l]) = con(a[r]) = (a[r] - a[l])$

那么可以直接跑一个区间$dp$，计算答案即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long


const int N = 2e3 + 10;
int a[N], dp[N][N];

inline bool cmp(const int &a, const int &b){ return a < b; }

inline void solve(){
  int n = 0; std::cin >> n;
  for(register int i = 1; i <= n; i++) std::cin >> a[i];
  std::sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);
  for(int len = 2; len <= n; len++){
    for(int l = 1; l <= n; l++){
      int r = l + len - 1;
      if(r > n) continue;
      dp[l][r] = (a[r] - a[l]) + std::min(dp[l + 1][r], dp[l][r - 1]); 
    }
  }
  std::cout << dp[1][n] << std::endl;
}

signed main(){
  solve();
  return 0;
}