2021 ICPC 江西省大学生程序设计竞赛（正式赛）F.Four Column Hanoi Tower 线性递推、高精度

题目大意：经典汉诺塔问题的变形，现在给定四根柱子的汉诺塔，要求回答给定的初始塔高度，移动到到一根柱子所需要的操作次数。

思路分析：首先分析三根柱子的汉诺塔：将第$i - 1$个盘子从$a$柱通过三根柱子移动到$b$柱，然后将最大的移动到$c$柱，最后又将$i - 1$个盘子通过三根柱子移动到$c$柱。在这个过程中的操作次数为$dp[i] = 2 \times dp[i - 1] + 1$。

那么我们继续分析四根柱子的汉诺塔：

1、从​​A​​​借助​​C、D​​​将$n-2$个盘子移动到​​​B​​​上；
2、将第$n-1$个盘子移动到​​​C​​​上；
3、将第$n$个盘子移动到​​​D​​​上；
4、将第$n-1$个盘子移动到​​​D​​​上；
5、从​​​B​​​借助​​A、C​​​将$n-2$个盘子全部移动到​​​D​​上。

以上是我们的基本思路。但是这并不是最优解。在盘子较少时是显然成立的，但盘子增多时，那些多余的只有一个盘子的柱子是可以加以利用的。因此我们需要一个更合理的算法：（参考四柱加强版汉诺塔HanoiTower）

1、用$4$柱汉诺塔算法把A柱上部分的$n- r$个碟子通过C柱和D柱移到B柱上【$F( n- r )$步】；
2、用$3$柱汉诺塔经典算法把A柱上剩余的r个碟子通过C柱移到D柱上【$2^r-1$步】（参照上述三柱时的情况）；
3、用$4$柱汉诺塔算法把B柱上的$n-r$个碟子通过A柱和C柱移到D柱上【$F(n-r)$步】；
4、依据上边规则求出所有$r（1≤r≤n$）情况下步数$f(n)$，取最小值得最终解。

因此可得状态转移方程：$F(n)=min(2 \times F(n-r)+2^r-1),(1≤r≤n)$

但是这题还没完，数据范围要求我们不得不使用高精度算法。赛时没有考虑到高精度的问题。。。。。所以$Pyhton$牛逼。。。。

ans = [0 for i in range(10005)]
a = [0 for i in range(10005)]

def solve():
    n = int(input())
    print(ans[n])
    
def init():
    ans[1], ans[2], ans[3] = 1, 3, 5
    a[2], a[3] = 4, 8
    cnt = 2
    for i in range(4, 10001):
        ans[i] = ans[i - cnt] * 2 + a[cnt] - 1
        a[i] = 2 * a[i - 1]
        if(ans[i] > ans[i - cnt - 1] * 2 + a[cnt + 1] - 1):
            cnt = cnt + 1
            ans[i] = ans[i - cnt] * 2 + a[cnt] - 1
        

if __name__ == "__main__":
    init()
    t = int(input())
    while t:
        solve()
        t -= 1