基于MATLAB的数学曲面分析




　　　1.实验内容：

　　　1.了解数学曲面的历史、应用、代表人物以及相关研究方向；

　　　2.并制作相应曲面绘制的交互式界面。

　　　3.应用MATLAB研究几个有趣的数学曲面的特征， 我们抛开抽象的数学理论，以MATLAB为工具，利用其强大的绘图功能，在大量试验的基础上了理解和体会曲面的一些数学本质。解决相应的关于曲面的简单问题，总结规律。

　　　2.知识简介：

　　　曲面是数学中的一个有多种含义的基本数学概念，正确地理解好曲面的数学模型是学好很多的高级数学分支如《微分几何》、《拓扑学》等的基础，同时也是一些工科专业如机械专业等进行专业学习的必备知识。在本科低年级《数学分析》和《解析几何》两门课的学习中，我们已经接触和熟悉了一些常见的基本曲面，如平面、球面、双曲面等及其他们的解析表达式，按照最常用的数学定义，我们通常把曲面定义为三维欧几里得空间里的一个“二维流形”。之所以称其为一个“二维流形”，是因为可以把曲面上所有的点坐标表示成两个参数的函数，具体如下

　　　 其中u，v是两个独立变化的参数。

　　　在生活中我们无时无刻不与曲面接触，如：球面，环面，甚至连一颗小水滴都是一个完美的闭曲面。

　　　悬链曲面

　　　悬链曲面（又名悬垂曲面）是一个立体的形状，是将悬链线的曲面环绕 x 轴扭转而成。除了平面以外，它是第一个被发现的最小曲面。它是在1744年被莱昂哈德·欧拉发现的。把两个圆形浸泡于一肥皂溶液里，再缓慢地把那两个圆形分隔开，就可以制作出一个悬链曲面的物理模型。

　　　旋转曲面 悬链面

　　　旋转曲面是一个平面曲线绕着一条直线（旋转轴）旋转所得到的曲面。

　　　例子包括球面，由圆绕着其直径旋转而成，以及环面，由 圆绕着外面的一条直线旋转而成。

　　　　旋转曲面

　　　环面

　　　在几何上，一个环面是一个面包圈形状的旋转曲面，由一个圆绕一个和该圆共面的一个轴回转所生成。球面可以视为环面的特殊情况，也就是旋转轴是该圆的直径时。若转轴和圆不相交，圆面中间有一个洞，就像一个圈形面包圈，一个呼啦圈，或者一个充了气的轮胎。另一个情况，也就是轴是圆的一根弦的时候，就产生一个挤扁了的球面，就像一个圆的座垫那样。英文Torus曾是拉丁文的这种形状的座垫。

　　　根据更一般的定义，环面的生成元不必是圆，而可以是椭圆或任何圆锥曲线。

　　　有趣的历史及相关知识：

　　　只有一个面的曲面：代表有克莱因瓶，麦比乌斯圈

　　　麦比乌斯圈

　　　麦比乌斯圈是什么：

　　　麦比乌斯圈是一种单侧、不可定向的曲面。因A.F.麦比乌斯发现而得名。将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定，另一端DC扭转半周后，把AB和CD粘合在一起 ，得到的曲面就是麦比乌斯圈，也称麦比乌斯带。

　　　　　麦比乌斯简介(1790～1868)

　　　Mobius，August Ferdinand

　　　德国数学家，天文学家 。1790 年11月17日生于瑙姆堡附近的舒尔普福塔，1868年9月26日卒于莱比锡。1809 年入莱比锡大学学习法律，后转攻数学、物理和天文。1814 年获博士学位，1816年任副教授，1829年当选为柏林科学院通讯院士，1844年任莱比锡大学天文与高等力学教授。

　　　麦比乌斯的科学贡献涉及天文和数学两大领域。他领导建立了莱比锡大学天文台并任台长。因发表《关于行星掩星的计算》而获得天文学家的赞誉，此外还著有《天文学原理》和《天体力学基础》等天文学著作。在数学方面，麦比乌斯发展了射影几何学的代数方法。他在其主要著作《重心计算》中 ，独立于 J. 普吕克等人而创立了代数射影几何的基本概念——齐次坐标。在同一著作中他还揭示了对偶原理与配极之间的关系，并对交比概念给出了完善的处理。麦比乌斯最为人知的数学发现是后来以他的名字命名的单侧曲面——麦比乌斯带。此外，麦比乌斯对拓扑学球面三角等其他数学分支也有重要贡献。

　　　莫比乌斯带常被认为是无穷大符号“∞”的创意来源，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。但是这是一个不真实的传闻，因为“∞”的发明比莫比乌斯带还要早。

　　　莫比乌斯带也被用于工业制造。一种从莫比乌斯带得到灵感的传送带能使用更长的时间，因为可以更好的利用整个带子，或者用于制造磁带，可以承载双倍的信息量。

　　　有一座钢制的莫比乌斯带雕塑位于美国华盛顿的史密斯森林历史和技术博物馆。

　　　荷兰建筑师Ben Van Berkel以莫比乌斯带为创作模型设计了著名的莫比乌斯住宅。

　　　 　克莱因瓶：　

　　　在1882年，著名数学家菲立克斯·克莱因 (Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面(即环面)。 　

　　　克莱因瓶的发明人介绍

　　　菲立克斯·克莱因 克莱因在杜塞尔多夫读的中学，毕业后，他考入了波恩大学学习数学和物理。他本来是想成为一位物理学家，但是数学教授普律克改变了他的主意。1868年克莱因在普律克教授的指导下完成了博士论文。在这一年里，普律克教授去世了，留下了未完成的几何基础课题。克莱因是完成这一任务的最佳人选。后来克莱因又去服了兵役。1871年，克莱因接受哥廷根大学的邀请担任数学讲师。1872年他又被埃尔朗根大学聘任为数学教授，这时他只有23岁。1875年他在慕尼黑高等技术学院取得了一个教席。在这里，他的学生包括胡尔