非线性抑制NLP 非线性抑制什么意思

非线性控制系统分析

非线性控制系统概述

理想的线性系统是不存在的。实际的物理系统组成元件或多或少地带有非线性因素。非线性系统是普遍存在的，线性模型是实际系统在特定条件下的近似描述。

非线性特性：指系统中某些元件的输入、输出关系不是按线性规律变化

非线性控制系统：当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性控制系统

如果在工作范围内可以线性化为线性系统，则称为非本质非线性；如果无法线性化，则称为本质非线性

非线性系统的特点如下：
（1）非线性系统不满足叠加原理

（2）非线性控制系统的稳定性：
1）除与系统的结构及参数有关外，还与初始条件密切相关。
2 ) 非线性控制系统可能存在多个平衡状态，且有些是稳定的，有些是不稳定的。

（3）稳定的自持 (激)振荡：除了发散或收敛这两种运动形式外，非线性系统还存在第三种运动形式。即在无任何外力作用下，系统能够产生具有一定频率和振幅的稳定的等幅振荡运动，即自持 (激)振荡

（4）对正弦输入信号的稳态响应不是正弦信号，而是具有多种频率的周期信号的组合

非线性控制系统结构框图如下，其中，$f(e)$是一个非线性特性

常见非线性特性

饱和特性

$$ x(t)=\left\{\begin{array}{ll} k e(t), & |e(t)|\le a \\ k a\cdot {sign}[e(t)], & |e(t)| > a \end{array}\right. $$

$\operatorname{sign}[e(t)]=\left\{\begin{array}{ll} 1, & e(t) > 0 \\ -1, & e(t)<0\\ 不定，&e(t)=0 \end{array}\right.$

$a$为线性域宽度，$k$为线性域斜率

饱和特性使系统在大信号输入下的等效开环增益减小，降低稳态精度( 稳态误差越大)，但提高相对稳定性；
可利用饱和特性为信号限幅。

假定两级饱和特性串联，第一级饱和特性的线性域宽度为$a_1$，线性域斜率为$k_1$；第二级饱和特性的线性域宽度为$a_2$，线性域斜率为$k_2$，如果要充分利用饱和特性的先行区，则第一级的最大输出$a_1k_1$应该大于等于第二级的线性域宽度$a_1k_1\ge a_2$，即$a_1\ge \frac{a_2}{k_1}$

死区（不灵敏区）特性

$x(t)=\left\{\begin{array}{cl} 0, & |e(t)| \leq a \\ k[e(t)-a \cdot {sign}(t)], & |e(t)|>a \end{array}\right.$
a为死区宽度，k为线性输出斜率

死区特性使系统等效开环增益减小，稳态误差越大 ，但提高相对稳定性；
不灵敏区使系统输出在时间上滞后，降低系统跟踪精度；
可以滤去输入端的小扰动信号，提高抗干扰能力。

连续串联两级死区特性，为了能够使系统有输出，则需要使第一级的输出$k_1[e(t)-a_1]$大于第二级的死区宽度$a_2$

$k_1[e(t)-a_1]>a_2$，即$e(t)>\frac{a_2}{k_1}+a_1$

继电（器）特性

$x(t)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & -m h<e(t)<h, \dot{e}(t)>0 \\ 0, & -h<e(t)<m h, \dot{e}(t)<0 \\ M {signe}(t), & |e(t)| \geq h \\ M, & e(t) \geq m h, \dot{e}(t)<0 \\ -M, & e(t) \leq-m h, \dot{e}(t)>0 \end{array}\right.$
h为继电器吸合电压

mh为继电器释放电压

M为继电器饱和输出

继电(器)特性常用来设计改善系统性能的切换元件。

$h=0$时，为理想继电特性

当$m=1$且$h\ne 0$时，为带死区的继电特性

当$m=-1$且$h\ne 0$时，为带滞环的继电特性

间隙（滞环）特性

$$ x(t)=\left\{\begin{array}{ll} k[e(t)-a], & \dot{x}(t)>0 \\ k[e(t)+a], & \dot{x}(t)<0 \\ b {sign} e(t), & \dot{x}(t)=0 \end{array}\right. $$ 2a为间隙宽度，k为输出特性斜率

间隙(滞环)特性有死区，相当于时间上的滞后，降低系统跟踪精度。 可用于齿轮传动等系统中改变方向。

变增益特性

$$ x(t)=\left\{\begin{array}{ll} k_{1} e(t), & |e(t)| \leq a \\ k_{2} e(t), & |e(t)|>a \end{array}\right. $$ a为切换点， $k_1,k_2$为输出特性斜率

变增益特性使系统在大误差信号作用下具有较大增益，从而改善稳态性能；
在小误差信号作用下具有较小增益，提高相对稳定性。

相平面法

相轨迹的基本概念和性质

相平面：由系统的某变量以及其导数构成的用以描述系统状态的平面。

相轨迹：系统变量及其导数随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹

相轨迹簇：各种情况下系统的相轨迹的总和

相轨迹图=相平面+相轨迹簇

一个二阶的连续非线性系统可以写作$\ddot{x}+f(x,\dot{x})=0$

若以$x$作为横坐标$\dot{x}$作为纵坐标，相轨迹的斜率为$\frac{d\dot{x}}{dx}$，
$\ddot{x}=\frac{d \dot{x}}{d t}=\frac{d \dot{x}}{d x} \frac{d x}{d t}=\dot{x} \frac{d \dot{x}}{d x}=-f(x, \dot{x})$

$\frac{d \dot x}{d x}=\frac{d \dot x /d t}{d x / t}=\frac{-f(x, \dot x)}{\dot{x}}$

由上式可知，除了满足$\frac{d \dot x}{d x}=\frac{d \dot x /d t}{d x / t}=\frac{-f(x, \dot x)}{\dot{x}}=\frac{0}{0}$的点，相轨迹上其余点处，斜率应该是确定且唯一的，除了这些点以外，相轨迹不相交。

将这些斜率不确定的点称为相轨迹的奇点（平衡点），求解的方法是，令$\dot x=0,\ddot x=0$，带入，求解非线性方程

因为相平面的纵坐标为$\dot x$，所以，在相平面上半平面，$\dot x$为正，x增加，x为横轴，所以相轨迹向右移动

相反，在相平面下半平面，$\dot x$为负，x减小，x为横轴，所以相轨迹向左移动。相轨迹总体呈顺时针运动。

当相轨迹穿越横轴时，$\dot x=0$所以x在此处不变。若$\ddot x=0$，则为平衡点，不穿越。若$\ddot x\ne0$，则x不变，90°垂直穿越横轴

相轨迹的绘制方法

（1）解析法

根据相轨迹斜率方程$\frac{d \dot x}{d x}=\frac{d \dot x /d t}{d x / t}=\frac{-f(x, \dot x)}{\dot{x}}$分离变量积分，$\int_{\dot{x}_{0}}^{\dot{x}} \dot{x} d \dot{x}=\int_{x_{0}}^{x}-f(x, \dot{x}) d x$

例：系统方程为$\ddot x+\omega_n^2x=0$

首先将系统方程转变为相轨迹斜率方程的形式
$\ddot x=\frac{d \dot x}{d t}=\frac{d\dot x}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{d\dot x}{dx}\dot x =-\omega_n^2x$
将$\dot x$及其微分移至等式左侧，x及其微分移至等式右侧
$\dot xd \dot x=-\omega_n^2xd x$
等式两边分别各自积分
$\frac{1}{2}\dot x^2 = \frac{-\omega_n^2}{2}\cdot x^2+C$
将$\dot x$和$x$移到等式左侧
$x^2+\frac{1}{\omega_n^2}\dot x^2 = \frac{2C}{\omega_n^2}=A^2$

$\frac{x^2}{A^2}+\frac{\dot x^2}{A^2 \omega_n^2}=1$

故相轨迹为椭圆，其中A与C有关，取决于初始位置

（2）等倾斜线法

相轨迹斜率方程为
$\frac{d \dot x}{d x}=\frac{d \dot x /d t}{d x / t}=\frac{-f(x, \dot x)}{\dot{x}}$
定义一个常数$\alpha$，令
$\alpha =\frac{-f(x, \dot x)}{\dot{x}}$
该方程为等倾斜线方程，等倾斜线方程与相轨迹的交点处，相轨迹的斜率为$\alpha$

等倾斜线法步骤：

1)由$\alpha =\frac{-f(x, \dot x)}{\dot{x}}$给$\alpha$不同值得若干等倾线。一般等倾线间隔取5°~10°。
2)在每根等倾线上画上斜率为$\alpha$的短线，表示相轨迹通过这些等倾线时的切线斜率，短线上箭头表示相轨迹运动方向。
3)从初始值出发，沿切线方向将这些短线用光滑连续曲线连接起来，即得相轨迹。

由相轨迹求时间解

假定相轨迹上有两点A,B，相轨迹A-B段的平均速度为$\dot x_{AB}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_B-x_A}{\Delta t_{AB}}$，而平均速度又可以近似为$\dot x_{AB}=\frac{\dot x_A+\dot x_B}{2}$。因此将二式联立可得
$\Delta t_{AB}=\frac{2(x_B-x_A)}{\dot x_A +\dot x_B}$
A-B越短越精确

或者可以用积分法
$\dot x=\frac{dx}{dt}$

$dt=\frac{1}{\dot x}dx$

$\Delta t=\int_{x_1}^{x_2}{\frac{1}{\dot x}}dx$

二阶系统的相轨迹

二阶线性系统的微分方程为
$\ddot{x}+2 \xi \omega_{n} \dot{x}+\omega_{n}^{2} x=0 \quad x(0)=x_{0}, \dot{x}(0)=\dot{x}_{0}$
其特征根分布于相轨迹奇点类型、稳定性的关系如下图所示

$\xi = 0,s_{1,2}=\pm j\omega_n$：相轨迹围绕原点旋转，不收敛于原点。此时奇点称为中心点。

$0<\xi < 1,s_{1,2}=-\xi \omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\xi^2}$：相轨迹为向心螺旋线最终趋于原点，为一个收敛的运动。此时奇点是稳定焦点。

$-1<\xi < 0,s_{1,2}=\xi \omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\xi^2}$：相轨迹为离心螺旋线，最终发散至无穷。此时奇点称不稳定焦点。

$\xi > 1,s_{1,2}=-\xi \omega_n\pm \omega_n\sqrt{\xi^2-1}$：当初始点落在斜率分别等于两个根的两条特殊等倾线时，相轨迹沿直线趋于原点；否则，相轨迹是一簇终于原点的抛物线。此时奇点称为稳定节点。

$\xi = 1,s_{1,2}=- \omega_n$：当初始点位于等倾线$\dot x=-\omega_nx$时，相轨迹沿直线趋于原点。否则相轨迹是一簇终于原点的抛物线。此时奇点称为稳定节点。

$\xi < -1,s_{1,2}=-\xi \omega_n\pm \omega_n\sqrt{\xi^2-1}$：当初始点落在斜率分别等于两个根的特殊等倾线时，相轨迹沿直线远离原点；否则相轨迹是一簇趋于无穷远（反向延长交于原点）的抛物线。此时奇点称不稳定节点

$\xi = -1,s_{1,2}= \omega_n$：当初始点位于等倾线$\dot x=\omega_nx$时，相轨迹沿直线远离原点。否则，相轨迹是一簇趋于无穷远（反向延长交于原点）的抛物线。此时奇点称不稳定节点。

若系统为$\ddot{x}+2 \xi \omega_{n} \dot{x}-\omega_{n}^{2} x=0$，$s_{1,2}=-\xi \omega_n\pm \omega_n\sqrt{\xi^2-1}$有极点在右半平面：只有初始值落在负斜率的等倾线$\dot{x}=s_{1,2} x=\left(-\xi \omega_{n} \pm \omega_{n} \sqrt{\xi^{2}+1}\right) x$上，相轨迹将趋于原点。但如受到微小的扰动，将偏离该轨迹发散至无穷。此时奇点称为鞍点。

非本质非线性系统分析

分析平衡点附近系统稳定性

先令$\ddot x = \dot x =0$求出平衡点，在平衡点附近将变量假设为平衡点加上一个增量，换元后，将非线性方程转化为在平衡点附近关于增量的线性方程，进而根据增量线性方程的特征方程根的分布，确定原系统平衡点附近的情况

例如

对系统$\ddot{x}+(3 \dot x-0.5) \dot{x}+x+x^{2}=0$，求系统的平衡点，判定平衡点附近根轨迹的性质

解：令$\ddot x = \dot x =0$，$x+x^{2}=x(x+1)=0$

可以求得系统的平衡点
$\left\{\begin{array}{l} x_{e 1}=0 \\ x_{e2}=-1 \end{array}\right.$
令在平衡点附近，
$\left\{\begin{array}{l} x=\Delta x + x_{e1} = \Delta x \\ x=\Delta x + x_{e2} = \Delta x-1 \end{array}\right.$
带入系统方程得
$\left\{\begin{array}{l} \Delta\ddot{x}+(3 \Delta\dot x-0.5)\Delta \dot{x}+\Delta x+(\Delta x)^{2}=0 \\ \Delta\ddot{x}+(3 \Delta\dot x-0.5)\Delta \dot{x}+(\Delta x - 1)+(\Delta x-1)^{2}=0 \end{array}\right.$
将系统，在平衡点附近线性化，忽略$(\Delta x)^2$以及$(\Delta \dot x)^2$项，得
$\left\{\begin{array}{l} \Delta\ddot{x}-0.5\Delta \dot{x}+\Delta x=0 \\ \Delta\ddot{x}-0.5\Delta \dot{x}-\Delta x=0 \end{array}\right.$
由此将非线性方程转化为在平衡点附近关于增量的线性方程

这两个系统的特征方程为
$\left\{\begin{array}{l} s^2-0.5s+1=0\\ s^2-0.5s-1=0\\ \end{array}\right.$
解得其特征方程的根分别为
$s=0.25 \pm j0.97$

$s=\left\{\begin{array}{l} 0.78\\ -1.28 \end{array}\right.$

因此系统的第一个平衡点为不稳定焦点，第二个平衡点为鞍点

分析系统自由响应运动

绘制系统的相轨迹（解析法、等倾斜线法），根据系统在相平面上的初始位置，沿着所处的相轨迹运动

本质非线性系统分析

与非本质非线性不同，本质非线性无法直接小偏差线性化，因此，需要将原系统分为几个线性区域，并针对每一个区域做线性化处理

开关线：划分不同线性区域的边界线

平衡线（奇线）：平衡点组成的线，不同区域的相轨迹相互影响而产生

实奇点：该奇点位于该系统对应的线性区域内

虚奇点：该奇点位于该系统对应的线性区域外

例1

系统方程为$\ddot x+\dot x+|x|=0$，分析系统的自由响应

解：首先将系统分段描述
$\left\{\begin{array}{ll} \ddot{x}+\dot{x}+x=0 & x \geq 0 \quad \text { I } \\ \ddot{x}+\dot{x}-x=0 & x<0 \quad \text { II } \end{array}\right.$
两个线性区域拼接的边界线称为开关线

对I区和II区分别求平衡点，得
$\left\{\begin{array}{ll} I & x_{e 1}=0 \\ I I & x_{e 2}=0 \end{array}\right.$
对I区和II区的平衡点附近线性化处理后分别求特征方程
$\left\{\begin{array}{cc} \text { I } & s^{2}+s+1=0 \\ \text { II } & s^{2}+s-1=0 \end{array}\right.$
求出其特征根
$\left\{\begin{array}{l} s_{1,2}=-0.5 \pm j 0.866 \\ s_{1,2}=\left\{\begin{array}{l} 0.62 \\ -1.62 \end{array}\right. \end{array}\right.$
因此对于右半平面的相轨迹而言，x=0为稳定焦点，对于左半平面的相轨迹而言，x=0为鞍点

因此所有的相轨迹都会从右侧往左侧发散

例2

系统的方程为$\ddot x+x+sign\dot x = 0$，分析系统的自由响应

将系统分段描述
$\left\{\begin{array}{ll} \ddot x+x+1=0 & \dot x \geq 0 &I\\ \ddot x+x-1=0 & \dot x<0&II \end{array}\right.$

计算出其奇点
$\left\{\begin{array}{ll} I & x_{e1}=-1\\ II & x_{e2}=1 \end{array}\right.$
在平衡点附近线性化处理后分别求特征方程
$\left\{ \begin{array}{ll} I&s^2+1=0\\ II&s^2+1=0 \end{array} \right.$
求出其特征根
$\left\{ \begin{array}{ll} s_{1,2}=\pm j1\\ s_{1,2}=\pm j1 \end{array} \right.$
因此极点为中心点

画出相轨迹，判断出-1至1之间均为平衡点，连出的线成为平衡线或奇线

线性控制系统的相平面分析

1.求二阶线性系统运动方程及初始值

2.线性系统相轨迹和奇点类别取决于系统特征根在复平面上的分布

3.线性系统奇点的位置和相轨迹初始值位置取决于输入信号的形式

例如,设如图线性系统开始处于静止状态（即输出初始值为0），分析闭环稳定性和稳态误差。其中$r(t)=R\cdot t$

解：

第一步根据系统结构和输入，列写系统运动方程，把系统描述成e和e的各阶导的微分方程

根据题意，$r(t)=R\cdot t$因此
$e=r-c=Rt-c$
因此
$\left\{ \begin{array}{l} c=Rt-e\\ \dot c = R-\dot e\\ \ddot c = -\ddot e \end{array} \right.$
由e(t)和c(t)的关系可知
$C(s)=E(s)\cdot \frac{K}{s(Ts+1)}$

$Ts^2C(s)+sC(s)=KE(s)$

$T\ddot c+\dot c=-T\ddot e-\dot e+R=Ke$

即
$T\ddot e + \dot e+Ke=R$
令$x=e-\frac{R}{K}$则$e=x+\frac{R}{K}$，上式变为
$T\ddot x+\dot x+Kx=0$
该方程为系统的运动方程，令$\dot x$和$\ddot x$均为0，求系统的奇点，得到系统奇点为
$x=0$
由运动方程列写系统的特征方程
$Ts^2+s+K=0$
则特征根为
$s_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1-4KT}}{2T}$
假如$4KT\le1$即$\xi\ge1$，则奇点为稳定节点

假如$4KT>1$即$0<\xi<1$，则奇点为稳定焦点

其相轨迹初始位置
$\left\{ \begin{array}{l} x(0)=e(0)-\frac{R}{K}=r(0)-c(0)-\frac{R}{K}=-\frac{R}{K}\\ \dot x(0)=\dot e(0)=\dot r(0)-\dot c(0)=R \end{array} \right.$
因此，系统稳定且收敛至平衡点$x=0$

由于$x=0$时，$e=x+\frac{R}{K}=\frac{R}{K}$，因此稳态误差$e_{ss}=\frac{R}{K}$

非线性控制系统分析

在非线性系统分析方法的基础上，利用与线性控制系统分析同样的步骤，把系统列写为某个变量的微分方程（常用误差e和输出c，输入不等于0时，用e，输入等于0，研究自由响应，用c），写出每一个线性区域内的线性运动方程，进而分析每一部分的奇点和相轨迹。画出根轨迹，分析运动特性。

例1：设输出初始值为0(即系统为静止状态)，$r(t)=R\cdot 1(t),R>a,k=1$

解：

第一步，将非线性部分分为几个线性区，列写每一个线性区内的微分方程
$x(t)=\left\{ \begin{array}{ll} ke(t)&-a\le e(t)\le a&I\\ ka&e(t)>a&II\\ -ka&e(t)<-a&III \end{array} \right.$
I区和II区的开关线为e=a，I区和III区的开关线为e=-a

第二步，分析系统的线性部分，写为微分方程
$C(s)=X(s)\cdot \frac{K}{s(Ts+1)}$

$T\ddot c+\dot c=Kx$

$\left\{ \begin{array}{l} e=r-c=R-c\\ \dot e=-\dot c\\ \ddot e=-\ddot c \end{array} \right.$

$-T\ddot e - \dot e=Kx$

第三步，结合非线性部分的每一个线性区分别写出运动方程，并计算每一部分的奇点

I区：
$-T\ddot e - \dot e=Kke=Ke$
运动方程为
$T\ddot e + \dot e + Ke=0$
II区
$-T\ddot e - \dot e=Kka=Ka$
运动方程为
$T\ddot e + \dot e + Ka = 0$
III区
$-T\ddot e - \dot e=K(-ka)=-Ka$
运动方程为
$T\ddot e + \dot e - Ka = 0$
由上，系统的运动方程为
$\left\{ \begin{array}{l} T\ddot e + \dot e + Ke=0 & I\\ T\ddot e + \dot e + Ka = 0 & II\\ T\ddot e + \dot e - Ka = 0 & III \end{array} \right.$
因此I区有平衡点$e_1=0$，II区，III区没有平衡点

第四步，根据运动方程列每一部分的特征方程，求特征根，判断奇点类型

I区的特征方程为$Ts^2+s+K=0$，特征根为$s=\frac{-1\pm \sqrt{1-4KT}}{2T}$，

假如$4KT\le1$即$\xi\ge1$，则奇点为稳定节点

假如$4KT>1$即$0<\xi<1$，则奇点为稳定焦点

第五步，根据系统初始的输入输出求相轨迹初始位置
$\left\{ \begin{array}{l} e(0) = r(0) - c(0) =R\\ \dot e(0) = \dot r(0) - \dot c(0)=0 \end{array} \right.$
第六步，画出开关线以及根轨迹（解析法或者等倾斜线法）,前一线性区域相轨迹到达开关线处的交点即下一线性区的初始值

例2：具有死区特性的非线性系统分析。设系统开始处于静止状态

1. 用相平面法分析系统在输入$r(t) = 4 \cdot 1(t)$时的运动情况。
2. 如果发生自持（激）振荡 ，求自持振荡的周期和振幅。

解：

第一步，将非线性部分分为几个线性区，列写每一个线性区内的微分方程
$x(t)=\left\{ \begin{array}{lcc} 0 & -2\le e(t)\le 2 & I\\ e(t) - 2 & e(t)>2 & II\\ e(t) + 2 & e(t)<-2 & III \end{array} \right.$
I区和II区的开关线为e=2，I区和III区的开关线为e=-2

第二步，分析系统的线性部分，写为微分方程
$C(s)=X(s)\cdot \frac{1}{s^2}$

$\ddot c = x$

$\left\{ \begin{array}{l} e=r-c=4-c\\ \dot e=-\dot c\\ \ddot e=-\ddot c \end{array} \right.$

$-\ddot e = x$

第三步，结合非线性部分的每一个线性区分别写出运动方程，并计算每一部分的奇点

I区：
$-\ddot e = 0$
运动方程为
$\ddot e=0$
II区
$-\ddot e = e - 2$
运动方程为
$\ddot e + e - 2 = 0$
III区
$-\ddot e = e + 2$
运动方程为
$\ddot e + e + 2 = 0$
由上，系统的运动方程为
$\left\{ \begin{array}{l} \ddot e=0 & I\\ \ddot e + e - 2 = 0 & II\\ \ddot e + e + 2 = 0 & III \end{array} \right.$
因此系统的奇点为
$\left\{ \begin{array}{l} e_1 & I\\ e_2 = 2 & II\\ e_3=-2 & III \end{array} \right.$
第四步，根据运动方程列每一部分的特征方程，求特征根，判断奇点类型

特征方程分别为
$\left\{ \begin{array}{l} s^2=0 & I\\ s^2+1 = 0 & II\\ s^2+1 = 0 & III \end{array} \right.$
其特征根分别为
$\left\{ \begin{array}{l} s_{1,2}=0 & I\\ s_{1,2} = \pm j & II\\ s_{1,2} = \pm j & III \end{array} \right.$
由此可知，

I区的相轨迹为水平线；

II区的平衡点为中心点，相轨迹为椭圆，由于特征根为$\pm j$，所以为以奇点$e_2=2$为圆心的圆；

III区的平衡点为中心点，相轨迹为椭圆，由于特征根为$\pm j$，所以为以奇点$e_3=-2$为圆心的圆；

第五步，根据系统初始的输入输出求相轨迹初始位置
$\left\{ \begin{array}{l} e(0) = r(0) - c(0) =4\\ \dot e(0) = \dot r(0) - \dot c(0)=0 \end{array} \right.$
第六步，画出开关线以及根轨迹（解析法或者等倾斜线法）,前一线性区域相轨迹到达开关线处的交点即下一线性区的初始值

第七步，根据题目要求进行运动分析

根据相轨迹可以看出，系统自持振荡，在相轨迹的II区和III区时呈正弦运动，在I区时呈匀速运动

$\begin{array}{l} T=4\left(t_{C A}+t_{A D}\right) =4\left(\int_{4}^{2} \frac{1}{\dot{e}} d e+\int_{2}^{0} \frac{1}{\dot{e}} d e\right) \\ =4\left[\int_{4}^{2} \frac{1}{-\sqrt{4-(e-2)^{2}}} d e+\int_{2}^{0}\left(\frac{1}{-2}\right) d e\right] \\ =4\left(\frac{\pi}{2}+1\right) \end{array}$
因此系统自持振荡的振幅为4，周期为$4(\frac{\pi}{2}+1)$

由于
$\left\{ \begin{array}{l} e=r-c=4-c\\ \dot e=-\dot c\\ \ddot e=-\ddot c \end{array} \right.$
因此，如果要将此系统的相轨迹画为$c-\dot c$相轨迹，只需将原图沿两轴各翻转180°后，水平移动4各单位即可

二阶非线性系统的周期运动会在相轨迹上产生极限环，

若极限环内向外发散，极限环外向内收敛，则称为稳定的极限环，系统产生自持振荡

若极限环内向内收敛，极限环外向外发散，则称为不稳定的极限环，初始位置落在极限环内还是极限环外决定了收敛还是发散

若极限环内外都向内收敛，或者极限环内外都向外发散，则称为半稳定的极限环，最终一定会收敛或发散

描述函数法

可以利用傅里叶级数对周期函数进行展开，

$\begin{array}{l} y(t)=A_{0}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(A_{n} \cos n \omega t+B_{n} \sin n \omega t\right)\\ =A_{0}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} Y_{n} \sin \left(n \omega t+\varphi_{n}\right) \end{array}$

$\left\{\begin{array}{l} A_{0}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} y(t) d(\omega t)\\ A_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} y(t) \cos n \omega t d(\omega t) \\ B_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} y(t) \sin n \omega t d(\omega t) \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c} Y_{n}=\sqrt{A_{n}^{2}+B_{n}^{2}} \\ \varphi_{n}=\arctan \frac{A_{n}}{B_{n}} \end{array}\right.$

$n=0$，即$A_0$表示的是常值分量

$n=1$，表示的是基波分量

$n>1$，表示的高次谐波分量

给一个奇对称非线性特性加上一个正弦信号输出的是一个周期信号，且常值分量$A_0$为0

描述函数法的基本思想是对于具有本质非线性的非线性环节，设输入信号为正弦信号，则用非线性环节的稳态输出信号中的一次谐波分量(基波分量)来代替实际非线性环节的稳态输出。

当输入为$x(t)=A \sin \omega t$

输出的基波为$y_{1}(t)=Y_{1} \sin \left(\omega t+\varphi_{1}\right)$

定义描述函数$N(A)$为
$N(A)=\frac{Y_{1}}{A} \angle \varphi_{1}=\frac{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}{A} \angle\left(\arctan \frac{A_{1}}{B_{1}}\right)$
即输出基波分量的幅值与输入幅值之比作为模，输出基波分量的相角和输入相角之差作为幅角的量称为描述函数

由于前面所述的几种典型非线性特性都是奇对称的，不包含储能元件，因此其描述函数都是输入信号幅值A的函数，与输入信号频率$\omega$无关

如果非线性环节是单值函数，则N(A)是实数，虚部为0

如果非线性环节不是单值函数，则N(A)是复数，虚部不为0

典型非线性特性的描述函数如下：

（1）饱和特性$A \geq a$

$N(A)=\frac{2 k}{\pi}\left\{\arcsin \frac{a}{A}+\frac{a}{A} \sqrt{1-\left(\frac{a}{A}\right)^{2}}\right\}$

（2）死区特性$A \geq a$

$N(A)=\frac{2 k}{\pi}\left\{\frac{\pi}{2}-\arcsin \frac{a}{A}-\frac{a}{A} \sqrt{1-\left(\frac{a}{A}\right)^{2}}\right\}$

（3）继电特性

a.理想继电特性$A \geq 0$

$N(A)=\frac{4 M}{\pi A}$

b.带死区的继电特性$A \geq h$

$N(A)=\frac{4 M}{\pi A} \sqrt{1-\left(\frac{h}{A}\right)^{2}}$

c.带滞环的继电特性$A \geq h$

$N(A)=\frac{4 M}{\pi A} \sqrt{1-\left(\frac{h}{A}\right)^{2}}-j \frac{4 Mh}{\pi A^{2}}$

（4）间隙特性$A \geq a$

$N(A)=\frac{k}{\pi}\left\{\frac{\pi}{2}+\arcsin \left(1-\frac{2 a}{A}\right)+2\left(1-\frac{2 a}{A}\right) \sqrt{\frac{a}{A}\left(1-\frac{a}{A}\right)}\right\}+j \frac{4 k a}{\pi A}\left(\frac{a}{A}-1\right)$

并联非线性环节的描述函数为描述函数相加，但是串联非线性环节的描述函数不等于描述函数相乘，只能通过求出其总的等效非线性特性再求出描述函数

当一个系统满足如下要求时，可以利用描述函数法分析非线性系统的稳定性和自振

（1）结构上可以等效化简为一个非线性环节和一个线性环节串联的形式

（2）非线性特性满足奇对称，且基波分量幅值占优

（3）线性环节的低通滤波特性好

稳定性分析

假定线性系统$G(s)$是一个最小相角系统，即其零极点都在虚轴的左侧或虚轴上

利用描述函数写系统的特征方程为
$1+N(A)\cdot G(j\omega) = 0$
即
$N(A) \cdot G(j\omega) = -1$
根据频域知识，只需画出方程左侧的幅相特性曲线，观察对(-1,j0)的包围情况，即可得出稳定性

但是由于N(A)并不是输入信号频率$\omega$的函数，并不方便画出其幅相特性曲线，故将N(A)除至等式右侧，即
$G(j\omega) = -\frac{1}{N(A)}$
$-\frac{1}{N(A)}$称为负倒描述函数，方程左侧的幅频特性方便画出，

假如将负倒描述函数视作广义的(-1,j0)点，则可以得出以下结论

（前提是G(s)是最小相角系统，虚轴右侧无零极点）

（1）假如$G(j\omega)$不包围$-\frac{1}{N(A)}$，则系统稳定

（2）假如$G(j\omega)$包围$-\frac{1}{N(A)}$，则系统不稳定

（3）假如$G(j\omega)$和$-\frac{1}{N(A)}$相交，则系统可能发生自振

自振分析

负倒描述函数是一个关于输入信号幅度A的函数，尽管画出来的是一条曲线，但是一个具体的信号对应一个具体的幅值，对应负倒描述函数曲线上的一个点。

如果该点没有被最小相位线性系统的奈奎斯特曲线包围，则系统是稳定的，会收敛，输入非线性环节的信号幅值逐渐减小，对应在负倒描述函数曲线上往后退

如果该点被最小相位线性系统的奈奎斯特曲线包围了，则系统不稳定，会发散，输入非线性环节的信号幅值逐渐增大，对应在负倒描述函数曲线上往前进

如果负倒描述函数与最小相位线性系统的奈奎斯特曲线交点处，在负倒描述函数的前进方向没有被包围（进入稳定区），在后退方向被包围了（进入不稳定区），则在该点发生自持振荡，该点为稳定平衡点（稳定的极限环）。反之该点为不稳定平衡点（不稳定的极限环）。

如果负倒描述函数曲线与奈奎斯特曲线相切，则形成半稳定周期运动（半稳定极限环）。

求自振频率即求两条曲线的交点，求解$N(A) \cdot G(j\omega) = -1$即可，求出的$\omega$为自振频率，$A$为自振幅值

典型非线性特性对系统稳定性的影响

高频低振幅的自持振荡可起到润滑作用

消除非线性系统自持(激)振荡的措施

1. 改变线性部分的参数(K)，使G( jω)曲线不与曲线 -1/N(A) 相交;
2. 改变非线性特性的参数，使 -1/N(A)曲线不与G( jω)曲线相交;
3. 线性部分增加校正环节，改变G( jω)曲线形状，使其不与 -1/N(A) 曲线相交。

结构非典型的处理办法

由于N(A)并不是输入信号频率$\omega$的函数，并不方便画出其幅相特性曲线，故将N(A)除至等式右侧，即
$G(j\omega) = -\frac{1}{N(A)}$
$-\frac{1}{N(A)}$称为负倒描述函数，方程左侧的幅频特性方便画出，

假如将负倒描述函数视作广义的(-1,j0)点，则可以得出以下结论

（前提是G(s)是最小相角系统，虚轴右侧无零极点）

（1）假如$G(j\omega)$不包围$-\frac{1}{N(A)}$，则系统稳定

（2）假如$G(j\omega)$包围$-\frac{1}{N(A)}$，则系统不稳定

（3）假如$G(j\omega)$和$-\frac{1}{N(A)}$相交，则系统可能发生自振

自振分析

负倒描述函数是一个关于输入信号幅度A的函数，尽管画出来的是一条曲线，但是一个具体的信号对应一个具体的幅值，对应负倒描述函数曲线上的一个点。

如果该点没有被最小相位线性系统的奈奎斯特曲线包围，则系统是稳定的，会收敛，输入非线性环节的信号幅值逐渐减小，对应在负倒描述函数曲线上往后退

如果该点被最小相位线性系统的奈奎斯特曲线包围了，则系统不稳定，会发散，输入非线性环节的信号幅值逐渐增大，对应在负倒描述函数曲线上往前进

如果负倒描述函数与最小相位线性系统的奈奎斯特曲线交点处，在负倒描述函数的前进方向没有被包围（进入稳定区），在后退方向被包围了（进入不稳定区），则在该点发生自持振荡，该点为稳定平衡点（稳定的极限环）。反之该点为不稳定平衡点（不稳定的极限环）。

如果负倒描述函数曲线与奈奎斯特曲线相切，则形成半稳定周期运动（半稳定极限环）。

求自振频率即求两条曲线的交点，求解$N(A) \cdot G(j\omega) = -1$即可，求出的$\omega$为自振频率，$A$为自振幅值

典型非线性特性对系统稳定性的影响

高频低振幅的自持振荡可起到润滑作用

消除非线性系统自持(激)振荡的措施

1. 改变线性部分的参数(K)，使G( jω)曲线不与曲线 -1/N(A) 相交;
2. 改变非线性特性的参数，使 -1/N(A)曲线不与G( jω)曲线相交;
3. 线性部分增加校正环节，改变G( jω)曲线形状，使其不与 -1/N(A) 曲线相交。

结构非典型的处理办法

如果非线性环节和线性环节的相对位置并不典型，则根据”闭环特征方程相同，则两非线性系统稳定性相同“的原理，等效成典型位置