1.正项级数审敛法
设与为正项级数,
- 正项级数收敛的充分必要条件是其部分和序列有界.
- 比较判别法:若(),则
比较法的极限形式:
若,则
- 若级数收敛,且则级数收敛;
- 若级数发散,且则级数发散.
「注意」
- 若分母,分子关于的最高次数分别为,则
- 若当时,则与具有相同敛散性.
- 当时,,后者较前者趋于的速度快.
2.两个重要级数
- 几何级数
- 级数
3.比值/根值判别法
4.积分判别法
若
在
上非负单调连续,则
与
具有相同敛散性.
5.任意项级数
- 交错级数判别法:
若满足
则收敛,且其和,余项.
常用递减的判别
- ;
- ;
- ,.
- 任意项级数判别法(符号不定)
定理表明任意项级数的收敛问题可以转化为正项级数的问题,因此可以用正项级数的判别法判定级数是否绝对收敛.
典型例题
1.设级数
收敛,则必收敛的级数为( ).
(A)
(B)
(C)
(D)
「解析」法一 直接法
由
收敛知
也收敛.由收敛级数的性质(如果级数
、
分别收敛于
、
,则级数
也收敛,且其和为
)知
.
选项成立.
法二 间接法(找反例)
(A)取,级数收敛,但是发散的;关于上述级数的敛散,有下述结果:
(B)取,级数收敛,发散.
(C)取,级数收敛,但由比较审敛法的极限形式知,级数发散.
2.设
,则级数( ).
(A)与都收敛
(B)与都发散
(C)收敛而发散
(D)发散而收敛
「解析」这是讨论与敛散性的问题.是交错级数,显然单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.
正项级数
中,
. 根据正项级数的比较判别法以及
发散
发散.因此此题应选(C).3.级数
(常数
)( ).
(A) 发散
(B) 条件收敛
(C) 绝对收敛
(D) 收敛性与有关
「解析」对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小
又因为级数:当时收敛;当时发散. 所以有 收敛
收敛.所以原级数绝对收敛,应选(C).
「注」对于正项级数,确定无穷小关于的阶(即与级数作比较)是判断它的敛散性的一个常用方法.该题用的就是这个方法.
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