所谓非对称，就是指该算法需要一对密钥，使用其中一个（公钥）加密，则需要用另一个（私钥）才能解密。
但是对于其原理大部分同学应该都是一知半解，今天就来分析下经典的非对称加密算法 - RSA算法。
通过本文的分析，可以更好的理解非对称加密原理，可以让我们更好的使用非对称加密技术。
RSA算法原理
RSA算法的基于这样的数学事实：两个大质数相乘得到的大数难以被因式分解。
如：有很大质数p跟q，很容易算出N，使得 N = p * q，
但给出N, 比较难找p q（没有很好的方式， 只有不停的尝试）
下面来看看数学演算过程：
- 选取两个大质数p，q，计算N = p q 及 φ ( N ) = φ (p) φ (q) = (p-1) * (q-1)
三个数学概念：
质数(prime numbe)：又称素数，为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。
互质关系：如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。
φ(N)：叫做欧拉函数，是指任意给定正整数N，在小于等于N的正整数之中，有多少个与N构成互质关系。如果n是质数，则 φ(n)=n-1。
如果n可以分解成两个互质的整数之积， φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)。即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。
好的，在这里我们实现一下判断质数以及两个数互质的代码实现:
判断质数：
bool prime(int x)
{
int k=sqrt(x);
for(int i=2;i<k+1;i++)
{
if(x%i==0)
{
return false;
}
}
return true;
}
关于sqrt()的算法我也写过，Leetcode 69. Sqrt(x)开平方
判断两个数互质，也就是意味着两个数的最大公约数是1
int gcd(int a,int b)
{
while(y!=0)
{
int t=x%y;
x=y;
y=t;
}
return x;
}- 选择一个大于1 小于φ(N)的数e，使得 e 和 φ(N)互质
e其实是1和φ(N)之间的一个质数
- 计算d，使得de=1 mod φ(N) 等价于方程式 ed-1 = k φ(N) 求一组解。
(N, e)封装成公钥，(N, d)封装成私钥。
假设m为明文，加密就是算出密文c:m^e mod N = c (明文m用公钥e加密并和随机数N取余得到密文c)
解密则是：c^d mod N = m (密文c用密钥解密并和随机数N取余得到明文m)
私钥解密这个是可以证明的，这里不展开了。
加解密步骤
声明：本篇博客大部分内容都是参考资料1的，但是又加上了参考文献2
具体还是来看看步骤，举个例子，假设Alice和Bob又要相互通信。
- Alice 随机取大质数P1=53，P2=59，那N=53*59=3127，φ(N)=3016
- 取一个e=3，计算出d=2011。
- 只将N=3127，e=3 作为公钥传给Bob（公钥公开）
- 假设Alice需要加密的明文m=89，s = 89^2011 mod 3127=545，于是Alice传回s=545。 （公钥加密过程）
- Bob使用s^e mod N = 545^3 mod 3127，就能得到明文m=89。 （私钥解密过程）
假如攻击者能截取到公钥n=3127，e=3及密文s=545，是仍然无法不通过d来进行密文解密的。
安全性分析
那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d呢？
如果n可以被因数分解，d就可以算出，因此RSA安全性建立在N的因式分解上。大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。
下一篇博客介绍的内容就是ECC加密算法
