本文介绍了混合高斯聚类算法。首先介绍了混合高斯的类表示是一个高斯模型，相似性度量定义为服从类参数为高斯分布，其是一种典型的基于模型的密度聚类算法。然后介绍了混合高斯模型假设类间服从伯努利分布，类内服从高斯分布，结合最大似然函数给出了混合高斯模型的目标函数。最后介绍了混合高斯模型的EM求解流程。

作者 | 文杰

编辑 | yuquanle

模型聚类

高斯混合

高斯混合的类表示是一个高斯模型，相似性度量定义为服从类 高斯分布 的概率（Kmeans的相似度量是距离度量），所以高斯混合聚类也可以看作是有参的密度聚类。

高斯混合假设类之间服从伯努利分布，样本在某一类下服从高斯分布，也就是说每个样本独立服从多元高斯分布。为了使得所有样本的概率最大化，即最大化对数似然函数：

也就是说假设类之间服从一个伯努利分布：

样本在类 下的条件概率服从高斯分布：

那么样本 和类标签 的联合分布为：

以上，当 已知时，即标签信息已知的话，类似于高斯判别分析（当然，高斯判别分析中多个高斯分布之间具有相同的协方差），对应的且只属于一类（类标已知），那么上式有：

最大似然估计有参数：

可以看出 为每一类样本所占的比例， 为该类下样本的均值， 为该类下样本的协方差。

考虑到高斯混合模型中的类划分是概率划分 ，表示第 个样本属于第 类的概率。所以，高斯混合模型的所有参数都需要乘上类的划分概率 。

高斯混合模型流程

1）初始化参数隐类别数 ，模型参数

2）采用EM算法，先假设参数，期望最大化，然后更新样本的划分概率更新参数

，根据参数划分每个样本类概率：

b）M-step：根据划分后的类概率更新参数

这里可以看出，当 是已知的，即类标签已知，则直接进行参数估计等价于高斯判别分析，当 是硬划分，同Kmenas又是一致的。

代码实战

Matrix GMM::E_step(const Matrix &x) 
 { 
 Matrix w; 
 w.initMatrix(K, x._row, 0); 
 Matrix wNorm; 
 wNorm.initMatrix(1, x._row, 0); 
 Matrix xOne; 
 double p = 0; 
 for(size_t i = 0; i < x._row; i++) 
 { 
 for(int k = 0; k < w._row; k++) 
 { 
 xOne = x.getOneRow(i); 
 p = Phi[k] * 1.0 / (pow(PI,double(K/2.0)) * COV2(Sigma[k])) * exp(-0.5 *(((xOne-Mu[k]) * Sigma[k].niMatrix()) * (xOne-Mu[k]).transposeMatrix())._data[0][0]); 
 w._data[k][i] = p; 
 wNorm._data[0][i] += p; 
 } 
 for(int k = 0; k < w._row; k++) 
 { 
 w._data[k][i] /= wNorm._data[0][i]; 
 } 
 } 
 return w; 
 } 
   int GMM::M_step(const Matrix &w, const Matrix &x) 
 { 
 Phi.clear(); 
 Mu.clear(); 
 Sigma.clear(); 
 Matrix mu; 
 mu.initMatrix(1, x._col, 0); 
 Matrix sigma; 
 sigma.initMatrix(x._col, x._col, 0); 
 for(size_t k = 0; k < w._row; k++) 
 { 
 Phi.push_back(0); 
 for(size_t j = 1; j < x._col; j++) 
 mu._data[0][j] = 0; 
 for(size_t i = 0; i < sigma._row; i++) 
 for(size_t j = 1; j < sigma._col; j++) 
 sigma._data[i][j] = 0; 
 for(size_t i = 0; i < x._row; i++) 
 { 
 Phi[k] += w._data[k][i];//计算phi 
 for(size_t j = 0; j < x._col; j++) 
 mu._data[0][j] += w._data[k][i] * x._data[i][j];//计算mu 
 } 
 Phi[k] /= x._row;//更新phi 
 for(size_t j = 0; j < x._col; j++) 
 mu._data[0][j] /= (Phi[k] * x._row); 
 Mu.push_back(mu);//更新mu 
 for(size_t i = 0; i < x._row; i++) 
 { 
 for(size_t j = 0; j < x._col; j++) 
 { 
 for(size_t j2 = 0; j2 < x._col; j2 ++) 
 { 
 sigma._data[j][j2] += w._data[k][i] * (x._data[i][j]-mu._data[0][j]) * (x._data[i][j2]-mu._data[0][j2]); 
 } 
 } 
 } 
 for(size_t i = 0; i < sigma._row; i++) 
 for(size_t j = 0; j < sigma._col; j++) 
 sigma._data[i][j] /= (Phi[k] * x._row); 
 Sigma.push_back(sigma);//更新Sigma 
 } 
 return 0; 
 }

The End