一、什么是魔方阵?
魔方矩阵,又称幻方,是具有相同的行数和列数,并在每行每列、对角线上的和都相等的矩阵。
\(N\) 阶幻方,即将自然数 \(1\) 到 \(N^2\) 排成 \(N\) 行 \(N\) 列的方阵,使每行、每列及两条主对角线上的 \(N\)
二、魔方阵的分类
对于魔方阵的构造,可分为一下三种类型:
- 奇数阶(\(N\)为奇数 [\(2n+1\)的形式] )
- 单偶数阶(\(N\)为\(4\)的倍数 [\(4n\)的形式] )
- 双偶数阶(\(N\)为其他偶数 [\(4n+2\)的形式] )
三、魔方阵及代码实现
1、奇数阶魔方阵(\(n\)为奇数)
一般解法:
- 将 \(1\)
- 从 \(2\) 开始到 \(n^{2}\) 为止,每个数字的排放规律为:每一个数字排放的行比前一个数字的行数减 \(1\),每个数字排放的列比前一个数字的列数加\(1\);
- 行的特殊情况:如果前一个数字的行数为 \(1\),那么该数字排在第 \(n\)
- 列的特殊情况:如果前一个数字的列数为 \(n\),那么该数字排在第 \(1\)
- 其他情况:如果按照上面规律确定的位置上已经有数字,则把要排的数字放在上一个数字的下面。
下面为 \(5\)
17 | 24 | 1 | 8 | 15 |
23 | 5 | 7 | 14 | 16 |
4 | 6 | 13 | 20 | 22 |
10 | 12 | 19 | 21 | 3 |
11 | 18 | 25 | 2 | 9 |
代码实现:
//奇数阶魔方阵
void odd_number(int n)
{
int i;
int row,line,row_0,line_0;//row为列坐标,line为行坐标,row_0记录行坐标,line_0记录列坐标
line=0;row=(n+1)/2-1;//初始化行、列坐标
a[line][row]=1;
for(i=2;i<=n*n;i++)
{
line_0=line;row_0=row;//记录上一次循环行、列坐标
if(line==0&&row==n-1)//第1行第n列的情况
{
line=n-1;//行坐标转到第n行
row=0;//列坐标转到第1行
}
else if(line==0)//第1行非第n列的情况
{
line=n-1;//行坐标转到第n行
row++;//列坐标+1
}
else if(row==n-1)//第n列非第1行的情况
{
row=0;//列坐标转到第1列
line--;//行坐标-1
}
else//普通情况
{
line--;//行坐标-1
row++;//列坐标+1
}
if(a[line][row]!=0)//判断该位置是否有数字
{
line=line_0+1;//(基于本次for循环开始的坐标)行坐标-1,转跳到下一行
row=row_0;//(基于本次for循环开始的坐标)列坐标不变
}
a[line][row]=i;//赋值
}
}
2、单偶数阶魔方阵( \(n\) 为偶数,且不能被 \(4\)
一般解法(以 \(10\)
- 首先把魔方阵均分为四个象限(形成四个奇数阶魔方阵),用奇数阶魔方阵填充的方法依次填充四个象限(顺序为 \(A\) → \(D\) → \(B\) → \(C\)
A | B |
C | D |
17 | 24 | 1 | 8 | 15 | 67 | 74 | 51 | 58 | 65 |
23 | 5 | 7 | 14 | 16 | 73 | 55 | 57 | 64 | 66 |
4 | 6 | 13 | 20 | 22 | 54 | 56 | 63 | 70 | 72 |
10 | 12 | 19 | 21 | 3 | 60 | 62 | 69 | 71 | 53 |
11 | 18 | 25 | 2 | 9 | 61 | 68 | 75 | 52 | 59 |
92 | 99 | 76 | 83 | 90 | 42 | 49 | 26 | 33 | 40 |
98 | 80 | 82 | 89 | 91 | 48 | 30 | 32 | 39 | 41 |
79 | 81 | 88 | 95 | 97 | 29 | 31 | 38 | 45 | 47 |
85 | 87 | 94 | 96 | 78 | 35 | 37 | 44 | 46 | 28 |
86 | 93 | 100 | 77 | 84 | 36 | 43 | 50 | 27 | 34 |
- 对于 \(A\) 象限的中间行,从中间格开始,自左至右标出 \(k\) 格;对于 \(A\) 象限的其他行,标出最左边 \(k\) 格(其中,\(k\) 满足表达式 \(n=4k+2\)
17 | 24 | 1 | 8 | 15 | 67 | 74 | 51 | 58 | 65 |
23 | 5 | 7 | 14 | 16 | 73 | 55 | 57 | 64 | 66 |
4 | 6 | 13 | 20 | 22 | 54 | 56 | 63 | 70 | 72 |
10 | 12 | 19 | 21 | 3 | 60 | 62 | 69 | 71 | 53 |
11 | 18 | 25 | 2 | 9 | 61 | 68 | 75 | 52 | 59 |
92 | 99 | 76 | 83 | 90 | 42 | 49 | 26 | 33 | 40 |
98 | 80 | 82 | 89 | 91 | 48 | 30 | 32 | 39 | 41 |
79 | 81 | 88 | 95 | 97 | 29 | 31 | 38 | 45 | 47 |
85 | 87 | 94 | 96 | 78 | 35 | 37 | 44 | 46 | 28 |
86 | 93 | 100 | 77 | 84 | 36 | 43 | 50 | 27 | 34 |
- 将 \(A\) 象限标出的数字与 \(C\)
92 | 99 | 1 | 8 | 15 | 67 | 74 | 51 | 58 | 65 |
98 | 80 | 7 | 14 | 16 | 73 | 55 | 57 | 64 | 66 |
4 | 6 | 88 | 95 | 22 | 54 | 56 | 63 | 70 | 72 |
85 | 87 | 19 | 21 | 3 | 60 | 62 | 69 | 71 | 53 |
86 | 93 | 25 | 2 | 9 | 61 | 68 | 75 | 52 | 59 |
17 | 24 | 76 | 83 | 90 | 42 | 49 | 26 | 33 | 40 |
23 | 5 | 82 | 89 | 91 | 48 | 30 | 32 | 39 | 41 |
79 | 81 | 13 | 20 | 97 | 29 | 31 | 38 | 45 | 47 |
10 | 12 | 94 | 96 | 78 | 35 | 37 | 44 | 46 | 28 |
11 | 18 | 100 | 77 | 84 | 36 | 43 | 50 | 27 | 34 |
- 对于 \(B\) 象限的所有行的中格,自左向右标出 \(k-1\) 格,并将其与 \(D\)
92 | 99 | 1 | 8 | 15 | 67 | 74 | 51 | 58 | 65 |
98 | 80 | 7 | 14 | 16 | 73 | 55 | 57 | 64 | 66 |
4 | 6 | 88 | 95 | 22 | 54 | 56 | 63 | 70 | 72 |
85 | 87 | 19 | 21 | 3 | 60 | 62 | 69 | 71 | 53 |
86 | 93 | 25 | 2 | 9 | 61 | 68 | 75 | 52 | 59 |
17 | 24 | 76 | 83 | 90 | 42 | 49 | 26 | 33 | 40 |
23 | 5 | 82 | 89 | 91 | 48 | 30 | 32 | 39 | 41 |
79 | 81 | 13 | 20 | 97 | 29 | 31 | 38 | 45 | 47 |
10 | 12 | 94 | 96 | 78 | 35 | 37 | 44 | 46 | 28 |
11 | 18 | 100 | 77 | 84 | 36 | 43 | 50 | 27 | 34 |
92 | 99 | 1 | 8 | 15 | 67 | 74 | 26 | 58 | 65 |
98 | 80 | 7 | 14 | 16 | 73 | 55 | 32 | 64 | 66 |
4 | 6 | 88 | 95 | 22 | 54 | 56 | 38 | 70 | 72 |
85 | 87 | 19 | 21 | 3 | 60 | 62 | 44 | 71 | 53 |
86 | 93 | 25 | 2 | 9 | 61 | 68 | 50 | 52 | 59 |
17 | 24 | 76 | 83 | 90 | 42 | 49 | 51 | 33 | 40 |
23 | 5 | 82 | 89 | 91 | 48 | 30 | 57 | 39 | 41 |
79 | 81 | 13 | 20 | 97 | 29 | 31 | 63 | 45 | 47 |
10 | 12 | 94 | 96 | 78 | 35 | 37 | 69 | 46 | 28 |
11 | 18 | 100 | 77 | 84 | 36 | 43 | 75 | 27 | 34 |
代码实现:
void single_even_number(int n)
{
int i,j;
int k,line,row,line_0,row_0;//k是与n相关的参数,line为行坐标,row为列坐标,line_0记录行坐标,row_0记录列坐标
k=(n-2)/4;
//A象限
line=0;row=k;//初始化A象限行列坐标
a[line][row]=1;
for(i=2;i<=(2*k+1)*(2*k+1);i++)//A象限的数字范围为1~(2*k+1)*(2*k+1)
{
line_0=line;row_0=row;//记录该次循环的初始行列坐标
if(line==0&&row==2*k)//第0行第2*k列的情况
{
line=2*k;//行坐标转为2*k
row=0;//列坐标转为0
}
else if(line==0)//第0行非第2*k列的情况
{
line=2*k;//行坐标转为2*k
row++;//列坐标+1
}
else if(row==2*k)//第2*k列非第0行的情况
{
row=0;//列坐标转为0
line--;//行坐标-1
}
else//普通情况
{
line--;//行坐标-1
row++;//列坐标+1
}
if(a[line][row]!=0)//判断是否遇到该位置有数字的情况
{
line=line_0+1;
row=row_0;
}
a[line][row]=i;//赋值
}
//D象限
line=2*k+1;row=3*k+1;//初始化D象限行列坐标
a[2*k+1][3*k+1]=(2*k+1)*(2*k+1)+1;
for(i=(2*k+1)*(2*k+1)+2;i<=2*(2*k+1)*(2*k+1);i++)//D象限数字范围(2*k+1)*(2*k+1)+1~2*(2*k+1)*(2*k+1)
{
line_0=line;row_0=row;//记录该次循环的初始行列坐标
if((line==2*k+1)&&(row==4*k+1))//第(2*k+1)行第(4*k+1)列的情况
{
line=4*k+1;//行坐标转为4*k+1
row=2*k+1;//列坐标转为2*k+1
}
else if(line==2*k+1)//第(2*k+1)行非第(4*k+1)列的情况
{
line=4*k+1;//行坐标转为4*k+1
row++;//列坐标+1
}
else if(row==4*k+1)//第(4*k+1)列非第(2*k+1)行的情况
{
row=2*k+1;//列坐标转为2*k+1
line--;//行坐标-1
}
else//普通情况
{
line--;//行坐标-1
row++;//列坐标+1
}
if(a[line][row]!=0)//判断是否遇到该位置有数字的情况
{
line=line_0+1;
row=row_0;
}
a[line][row]=i;//赋值
}
//B象限
line=0;row=3*k+1;//初始化B象限行列坐标
a[line][row]=2*(2*k+1)*(2*k+1)+1;
for(i=2*(2*k+1)*(2*k+1)+2;i<=3*(2*k+1)*(2*k+1);i++)//B象限数字范围2*(2*k+1)*(2*k+1)+1~3*(2*k+1)*(2*k+1)
{
line_0=line;row_0=row;//记录该次循环的初始行列坐标
if((line==0)&&(row==4*k+1))//第0行第(4*k+1)列的情况
{
line=2*k;//行坐标转为2*k
row=2*k+1;//列坐标转为2*k+1
}
else if(line==0)//第0行非第(4*k+1)列的情况
{
line=2*k;//行坐标转为2*k
row++;//列坐标+1
}
else if(row==4*k+1)//第(4*k+1)列非第0行的情况
{
row=2*k+1;//列坐标转为2*k+1
line--;//行坐标-1
}
else//普通情况
{
line--;//行坐标-1
row++;//列坐标+1
}
if(a[line][row]!=0)//判断是否遇到该位置有数字的情况
{
line=line_0+1;
row=row_0;
}
a[line][row]=i;//赋值
}
//C象限
line=2*k+1;row=k;//初始化C象限行列坐标
a[line][row]=3*(2*k+1)*(2*k+1)+1;
for(i=3*(2*k+1)*(2*k+1)+2;i<=4*(2*k+1)*(2*k+1);i++)//C象限数字范围3*(2*k+1)*(2*k+1)+1~4*(2*k+1)*(2*k+1)
{
line_0=line;row_0=row;//记录该次循环的初始行列坐标
if((line==2*k+1)&&(row==2*k))//第(2*k+1)行第2*k列的情况
{
line=4*k+1;//行坐标转为4*k+1
row=0;//列坐标转为0
}
else if(line==2*k+1)//第(2*k+1)行非第2*k列的情况
{
line=4*k+1;//行坐标转为4*k+1
row++;//列坐标+1
}
else if(row==2*k)//第2*k列非第(2*k+1)行的情况
{
row=0;//列坐标转为0
line--;//行坐标-1
}
else//普通情况
{
line--;//行坐标-1
row++;//列坐标+1
}
if(a[line][row]!=0)//判断是否遇到该位置有数字的情况
{
line=line_0+1;
row=row_0;
}
a[line][row]=i;//赋值
}
//换A、C象限相关数字的位置
for(i=0;i<2*k+1;i++)//对于A、C象限
{
int j_0,f=0;//j_0记录循环次数,f=0为标志位
for(j=0,j_0=0;j_0<k;j_0++,j++)//进行k次交换
{
if(i==k&&f==0)//判断是否为中间行
{
j+=k;
f=1;
}
x=a[i][j];
a[i][j]=a[i+2*k+1][j];
a[i+2*k+1][j]=x;
}
}
//换B、D象限相关数字的位置
if(k>=2)
for(i=0;i<k-1;i++)//每行交换k-1个数
for(j=0;j<2*k+1;j++)//从第0行到第2*k行交换
{
x=a[j][3*k+1+i];
a[j][3*k+1+i]=a[2*k+1+j][3*k+1+i];
a[2*k+1+j][3*k+1+i]=x;
}
}
3、双偶数阶魔方阵(n为偶数,且能被4整除)
一般规律:
- 用横线和竖线将 \(n\) 阶魔方阵均分为 \(m\) 个 \(4*4\)
- 将 \(n*n\) 个数从小到大,从左到右,从上到下,依次填入方阵中,遇到 \(4*4\)
- 将 \(n*n\) 个数从小到大,从右到左,从下到上,依次填入方阵\(4*4\)的小方阵的对角线上,其他位置不填(注:此位置不填的数不作为下一个位置填的数)
- 将2、3两步得到的魔方阵合并为一个魔方阵,双偶数阶魔方阵排列完成。
64 | 2 | 3 | 61 | 60 | 6 | 7 | 57 |
9 | 55 | 54 | 12 | 13 | 51 | 50 | 16 |
17 | 47 | 46 | 20 | 21 | 43 | 42 | 24 |
40 | 26 | 27 | 37 | 36 | 30 | 31 | 33 |
32 | 34 | 35 | 29 | 28 | 38 | 39 | 25 |
41 | 23 | 22 | 44 | 45 | 19 | 18 | 48 |
49 | 15 | 14 | 52 | 53 | 11 | 10 | 56 |
8 | 58 | 59 | 5 | 4 | 62 | 63 | 1 |
解决双偶数阶魔方阵的关键是要准确计算对角线。
从左上到右下的对角线满足 \(line \div 4 == row \div 4\)
从右上到左下的对角线满足 \(( line + row ) \div 4 == 3\)
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
0 | 0 | 3 | 4 | 7 | ||||
1 | 2 | 3 | 6 | 7 | ||||
2 | 3 | 4 | 7 | 8 | ||||
3 | 3 | 6 | 7 | 10 | ||||
4 | 4 | 7 | 8 | 11 | ||||
5 | 6 | 7 | 10 | 11 | ||||
6 | 7 | 8 | 11 | 12 | ||||
7 | 7 | 10 | 11 | 14 |
代码实现:
void double_even_number(int n)
{
int line,row;
int t_1=1,t_2=n*n;//t_1为正向,t_2为逆向
for(line=0;line<n;line++)
{
for(row=0;row<n;row++)
{
if(line%4==row%4||(line+row)%4==3)//判断是否为对角线
a[line][row]=t_2;
else
a[line][row]=t_1;
t_1++;
t_2--;
}
}
}
主函数如下:
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int a[100][100]={0};//将数组a中所有元素赋值为0
int main()
{
int n,i,j;
void odd_number(int n);
void single_even_number(int n);
void double_even_number(int n);
printf("请输入“魔方阵 ”的参数n=");
scanf("%d",&n);
if(n%2==1)
odd_number(n);
else if(n%4==2)
single_even_number(n);
else if(n%4==0)
double_even_number(n);
printf("该“魔方阵”如下:\n");
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
printf("%4d",a[i][j]);
printf("\n");
}
return 0;
}