算法训练 FBI树 java b树算法题

2019/11/21

B树，又称多路平衡查找树，B树中所有结点的孩子结点数的最大值称为B树的阶。

　　一颗m阶B树或是空树，或是满足如下特性的m叉树：

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　　1）树中每个结点至多有m棵子树、m-1个关键字。

根节点不是终端节点（非叶子节点），则至少有两棵子树、1个关键字（由  1）得到：2阶-1=1个关键字）。

　　3）除根节点外的所有非叶结点（除去第一行和最后一行元素），

　　至少有${\left \lceil m/2 \right \rceil}$棵子树、${\left \lceil m/2 \right \rceil}$-1个关键字。

　　

　　给出阶数m和关键字n,高度h的B树→求树的最大高度和最小高度，背住以下公式，很快求出：

　　$\log _{m}(n+1)\leqslant h\leqslant \log_{\left \lceil m/2 \right \rceil}(\frac{n+1}{2})+1$

　　推导过程：

　　$n\leq (m-1)(1+m+m^{2}+...+m^{h-1})$

　　得到树的最小高度。

　　

 

下面是最大高度

　　

 

 

　　第h+1那层，叶结点的那层有$2(\left \lceil m/2 \right \rceil)^{h-1}$个结点。

　　因为在B树中，它的关键字个数为n的话，则它的叶结点，也就是查找失败结点，数量为n+1。

　　对应的失败结点就是对应着不存在该B树上的值的那一个区间，

　　那么对应有n个关键字，就会有n+1个区间，所以它的失败结点数量为n+1。

　　$2(\left \lceil m/2 \right \rceil)^{h-1} \leqslant n+1$ 就可以计算出它的最大取值了。

得到如下结果：

　　$\log _{m}(n+1)\leqslant h\leqslant \log_{\left \lceil m/2 \right \rceil}(\frac{n+1}{2})+1$

 

 

　　树的几个通用性质也务必牢记：

　　①树中的结点数 = 所有结点的度数 + 1

　　②度为m的树中，第 i 层上至多有mⁱ - 1个结点（i ≥1）

　　③高度为h的m叉树至多有（m^k-1)/(m-1)个结点。

　　④具有n个结点的m叉树的最小高度为$\left \lceil \log _{m} (n(m-1)+1)\right \rceil$

　　

注：背住以上三条性质+最后在B/B+树中，求树高的公式+树的通用性质，则答题无惑矣😊🎉🎉🎉，尤其注意红色加粗部分，至少和至多的运用。

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非叶结点的结构：

n

P0

K1

P1

K2

P2

...Kn

Pn

 

 

K_i(i=1,2,...n)为结点的关键字，K1<K2<K3<.....<K_n。

P_i(i=1,2,...n) 为子树根节点的指针，

P_i-1所指子树的关键字均小于Ki

P_i 所指子树关键字均大于K_i  

所有叶结点都出现在同一层次上，并不带任何信息

 

几种操作：

一、查找

　　①在B树中找结点       磁盘

　　②在结点中找关键字  内存

二、插入

 　　①定位

　　

　　②插入

 

　　

 

　　

　　

　　

三、删除

　　 

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①终端上的3种删除情况：

　　 

 　　

　　

　　B树删除从左兄弟结点借一个

　　

　　B树删除从右兄弟结点借一个

　　

　　 

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　　②非终端上的3种删除情况：

　　

 　　

　　

 

　　非终端上的删除操作转化为终端上的删除操作

　　

　　 

 

 　　

 

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B+树

B+树