信息学赛培 | 10 站在巨人的肩膀上，开创未来——递推算法

导读

信息学能够有助于孩子未来工作发展，提升孩子的综合能力。

这一节课，我们来学习递推算法，递推算法理论比较简单，但是在应用过程中，怎么得到递推公式，实现递推公式的一些细节问题还是有一定难度的，让我们走进本文看一下吧！

1 站在巨人的肩膀上

我们现在所有的工作都是基于前人的基础的，我们在前人的基础上再进行更新，再进行创造，有了我们现在科技发展的时代。

我们今天要讲的递推算法就是应用了这种思想。让我们走进本文去了解一下递推算法吧！

2 递推算法

相比于前面的搜索算法，递推算法是更偏向数学的算法，让我们一起了解一下递推算法吧！

1 什么是递推算法

首先我们来了解一下什么是递推算法。

前面我们的例子讲到，我们的所有操作都是在前人的基础上继续的，我们是站在了前人的肩膀上。

递推算法就是如此，每一步的操作会与前面的一步或者多步操作存在一定的关系，通过前面的操作，可以轻松推导得到当前的操作。

这种做法有两个意义：

第一个意义是，很多情况下，我们只能得到操作与操作之间的关系，例如斐波那契数列。

第二个意义是，我们可以轻松得到操作与操作的关系，还能得到操作和其他的关系。但是我们通过前面的操作已经得到了一些结果，我们直接调用这些结果，不需要重新计算前面的操作，明显更为高效。

递推重要的是思想，重点是找到后面操作和前面操作的关系。

2 等差/等比/差比数列

数列可以理解是一系列数按照某个顺序构成的线性表。

在数列中，最基础的，最经典的三大数列就是：

等差数列
等比数列
差比数列

具体我们详细看一下。

1、等差数列

等差数列是说，在这一系列数中，相邻两项，后项减去前项的差是一致的。

所以对于等差数列的第i项和第i+1项，满足如下关系：

第i+1项 - 第i项 = 常数

这个常数称为公差。

我们用a数组来表示数列，用a[i-1]表示第i项，用a[i]表示第i+1项。用d表示常数，那么我们有如下公式：

a[i] = a[i-1] + d

上面的式子就是等差数列的递推公式。其中，我们需要知道a[0]的值。还有他们之间的公差d。然后我们就可以利用递推公式推导出所有的项，

等差数列还有一个非常重要的是等差数列的前n项和，我们知道前n项和是前n-1项和加上数列中的第n项。

我们用数组S来表示前n项和。用S[i-1]表示前i项和，用S[i]表示前i+1项和。那么我们有如下公式：

S[i] = S[i-1] + a[i]

这个就是等差数列前n项和的递推公式。

代码实现如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
  int a[100],d,S[100],n;
  cin>>n>>a[0]>>d;
  S[0] = a[0];
  for(int i = 1;i<n;i++){
    a[i] = a[i-1]+d;
    S[i] = S[i-1]+a[i];
  }
  cout<<a[n-1]<<endl<<S[n-1]<<endl;
  
  return 0;
}

如果我们不需要存所有数据，我们就可以使用普通变量代替数组，节省空间：

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
  int a,d,S,n;
  cin>>n>>a>>d;
  S = a;
  for(int i = 1;i<n;i++){
    a = a+d;
    S = S+a;
  }
  cout<<a<<endl<<S<<endl;
  
  return 0;
}

2、等比数列

等比数列是说，在这一系列数中，相邻两项，后项比前项的比值是一致的。

所以对于等比数列的第i项和第i+1项，满足如下关系：

第i+1项/第i项 = 常数

这个常数称为公比。

我们用a数组来表示数列，用a[i-1]表示第i项，用a[i]表示第i+1项。用q表示常数，那么我们有如下公式：

a[i] = a[i-1] * q

上面的式子就是等比数列的递推公式。其中，我们需要知道a[0]的值。还有他们之间的公比q。然后我们就可以利用递推公式推导出所有的项，

等比数列还有一个非常重要的是等比数列的前n项和，我们知道前n项和是前n-1项和加上数列中的第n项。

我们用数组S来表示前n项和。用S[i-1]表示前i项和，用S[i]表示前i+1项和。那么我们有如下公式：

S[i] = S[i-1] + a[i]

这个就是等差数列前n项和的递推公式。

我们直接考虑最节省空间的写法，代码实现如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
  int a,q,S,n;
  cin>>n>>a>>q;
  S = a;
  for(int i = 1;i<n;i++){
    a = a*q;
    S = S+a;
  }
  cout<<a<<endl<<S<<endl;
  
  return 0;
}

3、差比数列

差比数列是等差数列和等比数列的结合，全称是等差乘等比数列。差比数列的某一项可以用下面的公式表示：

c[i] = a[i] * b[i]

其中，a和b也是两个数列，并且其中一个为等差数列，另一个为等比数列。我们一般默认a是等差数列，b是等比数列。

所以对于差比数列的相邻两项，满足如下关系：

c[i] = a[i] * b[i]
     = (a[i-1]+d)*(b[i-1]*q)
     = a[i-1]*b[i-1]*q + d*b[i-1]*q
     = q*c[i-1] + d*b[i]

差比数列的前n项和，也是前n-1项和加上数列中的第n项。重点是差比数列前n项和的通项公式。在这里和递推没有关系，我们不讲。有兴趣以后我会给大家录视频讲解。

我们直接考虑最节省空间的写法，代码实现如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
  int a,b,c,d,q,n;
  cin>>n;
  cin>>a>>d; //等差数列首项和公差 
  cin>>b>>q; //等比数列首项和公比 
  c = a*b;
  for(int i = 1;i<n;i++){
    b = b*q;
    c = q*c+d*b;
  }
  cout<<c<<endl;
  
  return 0;
}

3 斐波那契数列

斐波那契数列是非常经典的递推算法应用，斐波那契数列会指定前两个数据后面的数据是其前两个数据的和。

使用数组的方式非常简单，我们如果考虑到空间复杂度，就不能使用数组，代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
  int a,b,c,n;
  cin>>n>>a>>b; 
  for(int i = 3;i<=n;i++){
    c = a+b;
    a = b;
    b = c;
  }
  cout<<c<<endl;
  
  return 0;
}

4 杨辉三角

杨辉三角非常经典：

现在我们尝试使用递推算法输出杨辉三角第i行的第j个数据。

我们知道用二维数组a存储，用a[1][1]表示第一行第一列的数据。那么第i行第j列的数据满足：

如果j=1或者j=i，那么a[i][j] = 1;
否则，a[i][j] = a[i-1][j-1] + a[i-1][j];

代码如下：

#include<iostream>
#include<string.h> 
using namespace std;
int a[100][100];
int main(){
  int m,n;
  cin>>m>>n; 
  if(m==n||n==1) cout<<1;
  else {
    for(int i = 1;i<=m;i++){
      a[i][1] = 1;
      a[i][i] = 1; 
      for(int j = 2;j<i;j++){
        a[i][j] = a[i-1][j-1]+a[i-1][j];
      }
    }
    
    for(int i = 1;i<=m;i++){ 
      for(int j = 1;j<=i;j++){
        cout<<a[i][j]<<" ";
      }
      cout<<endl;
    }
  }
  cout<<a[m][n]<<endl;
  
  return 0;
}

执行结果如下：

5 递推算法的难点

递推算法大家应该发现了，代码本身并不难，难点在于，如何确定其关系，并能把关系转化为合适的代码。

3 作业

本节课的作业，就是复习上面的所有知识，并完成下面的题目！

1 【NOIP1998 C】车站

火车从始发站（称为第1站）开出，在始发站上车的人数为a，然后到达第2站，在第2站有人上、下车，但上、下车的人数相同，因此在第2站开出时（即在到达第3站之前）车上的人数保持为a人。从第3站起（包括第3站）上、下车的人数有一定规律：上车的人数都是前两站上车人数之和，而下车人数等于上一站上车人数，一直到终点站的前一站（第n-1站），都满足此规律。现给出的条件是：共有N个车站，始发站上车的人数为a，最后一站下车的人数是m（全部下车）。试问x站开出时车上的人数是多少？

【输入描述】
a( ≤ 20)， n( ≤ 20)， m( ≤ 2000)，和 x( ≤ 20)


【输出描述】
从x站开出时车上的人数

【输入示例】
5 7 32 4


【输出示例】
13

参考分析表格

我们可以根据题目构建如下的表格，然后寻找其中的规律，并完成代码。

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