[数学]-数学分析 第四讲 有界集

有界集

1.定义：设S是一个数集，如果∃M，∀x∈S,都有x<=M,称数集S有上界，M称为S的一个上届;如果∃L，∀x∈S,都有x>=L,称数集S有下界，L称为S的一个下届。若S既有上届又有下届，则称S为有界集。

注意

  (1).数集S的界不唯一，若M是S的一个上界，则任意大于M的数都可作S的上界

（2)S有界，当且仅当∃M>0，∀x∈S,有|x|<=M

      S无界，当且仅当∀M>0，∃x∈S,使|x|>M 

      S无上界，当且仅当∀M>0，∃x∈S,使x>M

      S无下界，当且仅当∀M>0，∃x∈S,使x<M

例如  （1)怎样表述[a,b]有界

∃M=max{|a|,|b|}，∀x∈[a,b],|x|<=M

(2)（a,b) 有界

∃M=max{|a|,|b|}，∀x∈(a,b),|x|<=M

例题  证明S={y|y=2-x²,x∈R}有上界而无下界

对任意的x∈R,y=2-x²<=2,所以数集S有上界，而对任意的M>0,,取x=√(3+M),则y=2-x²=2-3-M=-1-M∈S,但y<-M,因之数集S无下界

例题 证明N*有下界而无上界的数集

∃1，∀x∈N*,有x>=1

∀M>0,∃x=[M]+1=∈N*,使x>M

∀x∈S,x>=0

S={x|x为（0，1）内的有理数}

用定义证sups=1,infs=0

∀x∈S,x<=1

∀a<1,若a<=0,∀x∈S,都有x>a

若0<a<1,由实数的稠密性，(a,1)中一定有有理数，∃x∈（a,1）,且x∈Q

∀b>0,若b>=1,∀x∈S,都x<b

若0<b<1,由实数的稠密性，在（0,b)一定存在有理数x∈S,使x<b

总结

(1)S没有上（下）界可以表述为：∀M（L)>0,∃x∈S,使x>M(x<L)

(2) S有界，当且仅当∃M>0，∀x∈S,有|x|<=M

      S无界，当且仅当∀M>0，∃x∈S,使|x|>M 

      S无上界，当且仅当∀M>0，∃x∈S,使x>M

      S无下界，当且仅当∀M>0，∃x∈S,使x<M

课后题

S={x|x²<2}求上下确界，并依定义加以验证

课后题在下一篇会有答案哦，也欢迎你们积极评论呦

上次课后题：当x∈[π/4，3π/4]时，sinx>=√2/2

.由正弦函数的周期性知sinx>=√2/2

的解为x∈[2kπ+π/4,2kπ+3π/4],其中k是整数

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编辑人：李纪玲          

审核人：水亦心/李子威