线段树求逆序对的详情理解

前言

看网上都说这个题目很经典，但是自己最初根本没办法将区间求和与求逆序对联系起来，思考了许久，此处进行记录并方便后来着理解。
注：本文的讲解建议配合​​​线段树之逆序对问题​​代码来看。

题目

​​剑指 Offer 51. 数组中的逆序对​​

逆序对

在一个$nums$序列中，如果$i < j$ 且$nums[i] > nums[j]$，且称$nums[i]$和$nums[j]$是一个逆序对，然后求该nums序列中逆序对的个数。

分析如下

int k = 0;
for(int i = 0; i < N; ++i) {
    change(root, pos[i]);
    if(pos[i] == len) {   // 如果最大的数在最后，就没有比较的意义了。查询反而会使线段树结构出错
        continue;
    }
    k += query(root, pos[i] + 1, len + 1); // 插入后，立刻进行累加，在线的
}

先不考虑离散化，离散化仅仅是缩小线段树的大小以及减少随之产生的查询次数，我们直接将离散后的pos当做原先说明的nums序列。
我们按照顺序迭代序列$num$，此时在线段树中插入当前数字$pos[i]$（见代码第3行），随后便查询(pos[i] + 1, len + 1)的序列sum（见代码第7行）。
为什么查询(pos[i] + 1, len + 1)的序列sum呢？因为此时** (pos[i] + 1, len + 1)的序列sum值 是在之前已经进行插入的，且(pos[i] + 1, len + 1)保证了这里面的值肯定是大于当前$pos[i]$的。
即(pos[i] + 1, len + 1)的序列sum值**满足两个条件：

1. 出现的数字所对应的下标小于$i$；
2. 且当前所有的值$pos[d]>pos[i]$；

这样一思考意味着什么？即我们将当前插入$i$是为了后面判断是否有大于判断时所对应的数值，而query是为了统计大于$pos[i]$的数值的个数。
换句话说就是，把$pos[i]$理解为$nums[j]$就好了，此时的$i$理解为定义的$j$。

注：这样就将一个统计大于对应的关系转换为一个区间查询的问题。

扩展思考

此处我们是以$nums[j]$去进行思考的，我们能不能从$nums[i]$的角度去思考，也就是统计其序列右侧小于它元素的个数？
答案肯定是可以的，考虑时效性。
也就是我们需要逆序遍历（为了让$nums[i]$右边的数先都出现，并在线段树中进行标记嘛）
还有查询的是$[1,nums[i]-1]$（因为我们要找比当前$nums[i]$更小的数嘛）

逆序对扩展

在数列中只要有$a_i<a_j>a_k$，且$i<j<k$，那么就称这是一个“好的”组合，给出任意个这个组合，求解“好的”组合的个数。
思路与逆序对一样，建树统计的代码也和逆序对的一样，区别在于统计方法上。

分析如下

// 处理逆序的，注意是反向循环的！！！！！！！
for(int i = N - 1; i >= 0; --i) {
    change(root, pos[i]);   // 将pos[i]的位置加一，顺便更新其父节点
    if(pos[i] + 1 == len + 1) {
        continue;
    }
    r[i] += query(root, pos[i] + 1, len + 1);
}
Node* root1{nullptr};
build(root1, 1, len + 1);
// 处理正序的
for(int i = 0; i < N; ++i) {
    change(root1, pos[i]);
    if(pos[i] <= 1) {
        continue;
    }
    l[i] += query(root1, 1, pos[i]);
}

通过对逆序对扩展思考的理解，我们可以明白。逆序对扩展我们可以理解为统计序列中$nums[i]$左侧小于其自身的数的个数$l[i]$，以及右侧大于其自身数的个数$r[i]$。
结合代码我们可以看出：
逆序时统计的是$(pos[i] + 1, len + 1)$，则意味着求的是$a_j>a_k$，且$j<k$这一段，找到所有数右侧大于它的部分，即$r[i]$。
正序时统计的是$(1, pos[i])$，则意味着求的是$a_i<a_j$且$i<j$这一段，找到所有数左侧小于它的部分，即$l[i]$。
然后结合这两个就可以了。

参考

​​线段树之逆序对问题​​

后记

笔者理解了很久，可能描述不是很清晰，可以随时来扰进行交流探讨。