引入
求解最大流问题的一个比较容易想到的方法就是，每次在残量网络（residual network）中任意寻找一条从 s 到 t 的路径，然后增广，直到不存在这样的路径为止。这就是一般增广路算法（labeling algorithm）。可以证明这种不加改进的贪婪算法是正确的。假设最大流是 f ，那么它的运行时间为O( f⋅∣E∣) 。但是，这个运行时间并不好，因为它和最大流 f 有关。
人们发现，如果每次都沿着残量网络中的最短增广路增广，则运行时间可以减为 O(∣E∣2⋅∣V∣) 。这就是最短增广路算法。而 ISAP 算法则是最短增广路算法的一个改进。其实，ISAP 的意思正是「改进的最短增广路」 (Improved Shortest Augmenting Path)。
顺便说一句，上面讨论的所有算法根本上都属于增广路方法（Ford-Fulkerson method）。和它对应的就是大名鼎鼎的预流推进方法（Preflow-push method）。其中最高标号预流推进算法（Highest-label preflow-push algorithm）的复杂度可以达到 O(∣V∣2∣E∣‾‾‾√)。虽然在复杂度上比增广路方法进步很多，但是预流推进算法复杂度的上界是比较紧的，因此有时差距并不会很大。
算法解释
概括地说，ISAP 算法就是不停地找最短增广路，找到之后增广；如果遇到死路就 retreat，直到发现s, t不连通，算法结束。找最短路本质上就是无权最短路径问题，因此采用 BFS 的思想。具体来说，使用一个数组d，记录每个节点到汇点t的最短距离。搜索的时候，只沿着满足d[u]=d[v]+1的边u→v（这样的边称为允许弧）走。显然，这样走出来的一定是最短路。
原图存在两种子图，一个是残量网络，一个是允许弧组成的图。残量网络保证可增广，允许弧保证最短路（时间界较优）。所以，在寻找增广路的过程中，一直是在残量网络中沿着允许弧寻找。因此，允许弧应该是属于残量网络的，而非原图的。换句话说，我们沿着允许弧，走的是残量网络（而非原图）中的最短路径。当我们找到沿着残量网络找到一条增广路，增广后，残量网络肯定会变化（至少少了一条边），因此决定允许弧的d数组要进行相应的更新（顺便提一句，Dinic 的做法就是每次增广都重新计算d数组）。然而，ISAP 「改进」的地方之一就是，其实没有必要马上更新d数组。这是因为，去掉一条边只可能令路径变得更长，而如果增广之前的残量网络存在另一条最短路，并且在增广后的残量网络中仍存在，那么这条路径毫无疑问是最短的。所以，ISAP 的做法是继续增广，直到遇到死路，才执行 retreat 操作。
说到这里，大家应该都猜到了，retreat 操作的主要任务就是更新d数组。那么怎么更新呢？非常简单：假设是从节点u找遍了邻接边也没找到允许弧的；再设一变量m，令m等于残量网络中u的所有邻接点的d数组的最小值，然后令d[u]等于m+1即可。这是因为，进入 retreat 环节说明残量网络中u和 t已经不能通过（已过时）的允许弧相连，那么u和t实际上在残量网络中的最短路的长是多少呢？（这正是d的定义！）显然是残量网络中u的所有邻接点和t的距离加1的最小情况。特殊情况是，残量网络中u根本没有邻接点。如果是这样，只需要把d[u]设为一个比较大的数即可，这会导致任何点到u的边被排除到残量网络以外。（严格来说只要大于等于∣V∣即可。由于最短路一定是无环的，因此任意路径长最大是∣V∣−1）。修改之后，只需要把正在研究的节点u沿着刚才走的路退一步，然后继续搜索即可。
讲到这里，ISAP 算法的框架内容就讲完了。对于代码本身，还有几个优化和实现的技巧需要说明。
1.算法执行之前需要用 BFS 初始化d数组，方法是从t到s逆向进行。
2.算法主体需要维护一个「当前节点」u，执行这个节点的前进、retreat 等操作。
3.记录路径的方法非常简单，声明一个数组p，令p[i]等于增广路上到达节点i的边的序号（这样就可以找到从哪个顶点到的顶点i）。需要路径的时候反向追踪一下就可以了。
4.判断残量网络中s,t不连通的条件，就是d[s]≥∣V∣ 。这是因为当s,t不连通时，最终残量网络中s将没有任何邻接点，对s的 retreat 将导致上面条件的成立。
5.GAP 优化。GAP 优化可以提前结束程序，很多时候提速非常明显（高达 100 倍以上）。GAP 优化是说，进入 retreat 环节后，u,t之间的连通性消失，但如果u是最后一个和t距离d[u]（更新前）的点，说明此时s,t也不连通了。这是因为，虽然u,t已经不连通，但毕竟我们走的是最短路，其他点此时到t的距离一定大于d[u]（更新前），因此其他点要到t，必然要经过一个和t距离为d[u]（更新前）的点。GAP 优化的实现非常简单，用一个数组记录并在适当的时候判断、跳出循环就可以了。
6.另一个优化，就是用一个数组保存一个点已经尝试过了哪个邻接边。寻找增广的过程实际上类似于一个 BFS 过程，因此之前处理过的邻接边是不需要重新处理的（残量网络中的边只会越来越少）。具体实现方法直接看代码就可以，非常容易理解。需要注意的一点是，下次应该从上次处理到的邻接边继续处理，而非从上次处理到的邻接边的下一条开始。最后说一下增广过程。增广过程非常简单，寻找增广路成功（当前节点处理到t）后，沿着你记录的路径走一遍，记录一路上的最小残量，然后从s到t更新流量即可。
书上的模版：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
#define N 1010
#define INF 0x3f3f3f3f
struct Edge {
int from, to, cap, flow;
Edge() {}
Edge(int from, int to, int cap, int flow): from(from), to(to), cap(cap), flow(flow) {}
};
struct ISAP {
int p[N], num[N], cur[N], d[N];
int t, s, n, m;
bool vis[N];
vector<int> G[N];
vector<Edge> edges;
void init(int n, int m) {
this->n = n; this->m = m;
for (int i = 0; i <= n; i++) {
G[i].clear();
d[i] = INF;
}
edges.clear();
}
void AddEdge(int from, int to, int cap) {
edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0));
edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0));
int m = edges.size();
G[from].push_back(m - 2);
G[to].push_back(m - 1);
}
bool BFS() {
memset(vis, 0, sizeof(vis));
queue<int> Q;
d[t] = 0;
vis[t] = 1;
Q.push(t);
while (!Q.empty()) {
int u = Q.front();
Q.pop();
for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
Edge &e = edges[G[u][i] ^ 1];
if (!vis[e.from] && e.cap > e.flow) {
vis[e.from] = true;
d[e.from] = d[u] + 1;
Q.push(e.from);
}
}
}
return vis[s];
}
int Augment() {
int u = t, flow = INF;
while (u != s) {
Edge &e = edges[p[u]];
flow = min(flow, e.cap - e.flow);
u = edges[p[u]].from;
}
u = t;
while (u != s) {
edges[p[u]].flow += flow;
edges[p[u] ^ 1].flow -= flow;
u = edges[p[u]].from;
}
return flow;
}
int Maxflow(int s, int t) {
this->s = s; this->t = t;
int flow = 0;
BFS();
if (d[s] >= n)
return 0;
memset(num, 0, sizeof(num));
memset(cur, 0, sizeof(cur));
for (int i = 0; i < n; i++)
if (d[i] < INF)
num[d[i]]++;
int u = s;
while (d[s] < n) {
if (u == t) {
flow += Augment();
u = s;
}
bool ok = false;
for (int i = cur[u]; i < G[u].size(); i++) {
Edge &e = edges[G[u][i]];
if (e.cap > e.flow && d[u] == d[e.to] + 1) {
ok = true;
p[e.to] = G[u][i];
cur[u] = i;
u = e.to;
break;
}
}
if (!ok) {
int Min = n - 1;
for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
Edge &e = edges[G[u][i]];
if (e.cap > e.flow)
Min = min(Min, d[e.to]);
}
if (--num[d[u]] == 0)
break;
num[d[u] = Min + 1]++;
cur[u] = 0;
if (u != s)
u = edges[p[u]].from;
}
}
return flow;
}
};
ISAP isap;
int main() {
return 0;
}第二种，改进的
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
const int MAXNODE = 210;
const int MAXEDGE = 100010;
typedef int Type;
const Type INF = 0x3f3f3f3f;
struct Edge {
int u, v, next;
Type cap, flow;
Edge() {}
Edge(int u, int v, Type cap, Type flow, int next): u(u), v(v), cap(cap), flow(flow), next(next) {}
};
struct ISAP {
int n, m, s, t;
Edge edges[MAXEDGE];
int head[MAXNODE], p[MAXNODE], num[MAXNODE], cur[MAXNODE], d[MAXNODE];
bool vis[MAXNODE];
void init(int n) {
this->n = n;
memset(head, -1, sizeof(head));
m = 0;
}
void AddEdge(int u, int v, Type cap) {
edges[m] = Edge(u, v, cap, 0, head[u]);
head[u] = m++;
edges[m] = Edge(v, u, 0, 0, head[v]);
head[v] = m++;
}
bool BFS() {
memset(vis, 0, sizeof(vis));
queue<int> Q;
for (int i = 0; i < n; i++)
d[i] = INF;
d[t] = 0;
vis[t] = 1;
Q.push(t);
while (!Q.empty()) {
int u = Q.front(); Q.pop();
for (int i = head[u]; ~i; i = edges[i].next) {
Edge &e = edges[i ^ 1];
if (!vis[e.u] && e.cap > e.flow) {
vis[e.u] = true;
d[e.u] = d[u] + 1;
Q.push(e.u);
}
}
}
return vis[s];
}
Type Augment() {
int u = t;
Type flow = INF;
while (u != s) {
Edge &e = edges[p[u]];
flow = min(flow, e.cap - e.flow);
u = edges[p[u]].u;
}
u = t;
while (u != s) {
edges[p[u]].flow += flow;
edges[p[u] ^ 1].flow -= flow;
u = edges[p[u]].u;
}
return flow;
}
Type Maxflow(int s, int t) {
this->s = s; this->t = t;
Type flow = 0;
BFS();
//如果s-->t走不通
if (d[s] >= n)
return 0;
memset(num, 0, sizeof(num));
for (int i = 0; i < n; i++)
cur[i] = head[i];
for (int i = 0; i < n; i++)
if (d[i] < INF)
num[d[i]]++;
int u = s;
while (d[s] < n) {
if (u == t) {
flow += Augment();
u = s;
}
bool ok = false;//纪录是否找到了下一个点
for (int i = cur[u]; ~i; i = edges[i].next) {
Edge &e = edges[i];
if (e.cap > e.flow && d[u] == d[e.v] + 1) {
ok = true;
p[e.v] = i;//点v由第i条边增广得到
cur[u] = i;//尝试到第i条边
u = e.v;
break;
}
}
//如果没找到下一个点,表示u到t的最短路要变长了,或者没路可走了
if (!ok) {
//找寻u到下一个点的最短路
int Min = n - 1;
for (int i = head[u]; ~i; i = edges[i].next) {
Edge &e = edges[i];
if (e.cap > e.flow)
Min = min(Min, d[e.v]);
}
if (--num[d[u]] == 0)//GAP优化
break;
num[d[u] = Min + 1]++;
cur[u] = head[u];
//返回前一个点，因为该点的最短距离已经变了
if (u != s)
u = edges[p[u]].u;
}
}
return flow;
}
}isap;
int main() {
return 0;
}
