误差的来源和分类
误差是描述数值计算之中近似值的近似程度
误差按来源可分为:模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差
1.模型误差:数学模型通常是由实际问题抽象得到的,一般带有误差,这种误差称为模型误差。(这个误差一般来说是不可避免的)
2.观测误差:数学模型中的一些参数时通过观测和实验得到的,难免带有误差,这种误差称为观测误差。
注: 以上两种误差并不是数值分析的重点研究内容,因为不可避免。下面说的两种误差是数值分析需要关注和研究的。
3.截断误差: 例如进行taylor展开,,只取了前5项。这里舍去后面所产生的误差R5被称为截断误差。
4.舍入误差:由于计算机只能对有限位数进行运算,在运算中像等都要按舍入原则保留有限位,这时产生的误差称为舍入误差或计算误差。
绝对误差和相对误差
绝对误差
- 设 x 是精确值 x*的一个近似值,记:
称 e 为近似值 x 的绝对误差,简称误差。 - 如果满足:
则称为近似值 x 的绝对误差限,简称误差限。
注1:(1)绝对误差是一个可正可负的量,且是有量纲的。(2)绝对误差是无法精确算出来的。
注2:精确值,近似值,和误差限之间满足:
通常记为:
相对误差
相对误差:
由于未知,实际使用时常将 x 的相对误差取为:
称为近似值x的相对误差限。
(相对误差小于等于相对误差限)
注:相对误差可正可负,但没有量纲。
例子:
设1.24是由精确值经过四舍五入得到的近似值,求x的绝对误差限和相对误差限。
解:
由题意得:
所以:绝对误差限,相对误差限