MATLAB 求解特征方程的根轨迹图稳定性分析

根轨迹分析

在下文中，我们提供了用于根轨迹分析的强大MATLAB命令的简要描述。读者可能想知道为什么当强大的MATLAB命令可用时，教师强调学习手工计算。对于给定的一组开环极点和零点，MATLAB立即绘制根轨迹。在极点和零点中进行的任何更改都会立即产生新的根位点，依此类推。 

MATLAB允许特征方程的根轨迹

1 + G（s）H（s）= 0

用rlocus（GH）命令绘制 。可以使用[K，p] = rlocfind（GH）命令以交互方式选择根轨迹上的点（将十字准线放置在适当的位置）。然后MATLAB 在该点产生增益K以及具有该增益的所有极点p。根轨迹可以在使用sgrid（zeta，wn）命令生成的网格上绘制，该命令允许恒定阻尼比zeta和恒定固有频率 wn曲线。命令rlocus（GH，K）允许我们指定用于绘制根轨迹的增益K的范围。还研究命令[p，K] = rlocus（GH） 和 [p] = rlocus（GH，K） 使用MATLAB在线帮助。

考虑图M6.1的框图中所示的系统。

图M6.1

系统的特征方程是

1 + G（s）= 0

同

以下MATLAB脚本绘制了根轨迹

s = tf('s');G = 1/(s*(s+7)*(s+11));rlocus(G);axis equal;

单击根轨迹与虚轴的交点将得到图M6.2中所示的数据。我们发现闭环系统对于K <1360 是稳定的; 并且K > 1360 不稳定。

图M6.2

>> K = 860;
>> step(feedback(K*G,1),5)
>> hold;
% Current plot held
>> K = 1460;
>> step(feedback(K*G,1),5)

 

图M6.3

例M6.2

考虑图M6.4所示的系统。

图M6.4

植物转移函数G（s）如下给出

clear all;
close all;
s = tf('s');
G = (s+1)/(s*(0.1*s-1));
rlocus(G);
axis equal;
sgrid;
title('Root locus for (s+1)/s(0.1s-1)');
[K,p]=rlocfind(G)

 

图M6.5

selected_point =
-2.2204 + 3.0099i
K =
1.4494
p =
-2.2468 + 3.0734i
-2.2468 - 3.0734i

 

例M6.3

用于具有开环传递功能的单位反馈系统

 

s = tf（'s'）;
G =（s ^ 2-4 * s + 20）/（（s + 2）*（s + 4））;
rlocus（G）;
zeta = 0.45;
wn = 0;

 

使用  右键单击 - >属性 - >限制正确地重新定义根轨迹的轴  。

图M6.6

点击根轨迹与zeta = 0.45线的交点给出系统增益K = 0.415，其对应于闭环极点，点击根轨迹与实轴的交点，给出分离点和该点处的增益。