bzoj2154(莫比乌斯函数+积性函数)

原创

qkoqhh 2022-08-31 18:07:31 博主文章分类：数论 ©著作权

文章标签 #define #include 积性函数 文章分类 虚拟化云计算

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这个之前推过，没去实现。。

也是将lcm转成gcd做，然后枚举gcd，可得

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[i,j] \\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{(i,j)} \\=\sum_{d}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{i}{d}\frac{j}{d}d[(\frac{i}{d},\frac{j}{d})=1] \\=\sum_{d}d\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}ij[(i,j)=1] \\=\sum_{d}d\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}i\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}j\sum_{d'|i,d'|j}\mu(d') \\=\sum_{d}d\sum_{d'}\mu(d')\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{dd'} \right \rfloor}d'i\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{dd'} \right \rfloor}d'j \\=\sum_{d}d\sum_{d'}\mu(d')d'^2\frac{1}{4}\left \lfloor \frac{n}{dd'} \right \rfloor(\left \lfloor \frac{n}{dd'} \right \rfloor+1)\left \lfloor \frac{m}{dd'} \right \rfloor(\left \lfloor \frac{m}{dd'} \right \rfloor+1)$

然后换元一下，令d=dd'，枚举dd'，可得

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[i,j] \\ =\frac{1}{4} \sum_{d}d\sum_{d'|d}\mu(d')d'\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor+1)\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor(\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor+1)\\= \frac{1}{4}\sum_{d}d\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor+1)\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor(\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor+1)\sum_{d'|d}\mu(d')d'$

然后主要是处理d'的求和了，由于是因子和，所以可以猜想这个求和本身也是积性函数，那么只要dμ(d)是积性函数就可以了。。

设f(n)=nμ(n)，n与m互质，f(nm)=nmμ(nm)=nmμ(n)μ(m)=f(n)(m)，故f(n)为积性函数

设

$g(n)=\sum_{d|n}d\mu(d)$

，符合狄利克雷卷积形式，故g(n)也为积性函数而

$g(p^k)=1\mu(1)+p\mu(p)+\sum_{i=2}^{k}p^i\mu(p^i)=1-p$

故可以线性预处理g(n)

然后就可以变成

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[i,j]=\frac{1}{4}\sum_{d=1}^{min(n,m)}dg(d)\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor+1)\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor(\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor+1)$

然后就可以分块求了。。

尝试过线性筛的时候直接把上面的和式也求了，不过取模太多次貌似变慢了不少。。。还是分块大法吼。。。

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 */
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<bitset>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1LL<<(x))
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define mid ((x+y)/2) 
#define NM 10000005
#define nm 10005
#define N 1000005
#define M(x,y) x=max(x,y)
const double pi=acos(-1);
const ll inf=20101009;
using namespace std;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
   
 
 
 
 
ll a[NM],ans,inv[10];
int n,m,g[NM],prime[NM],tot;
bool v[NM];
 
void init(){
    inv[1]=g[1]=a[1]=1;
    inc(i,2,4)inv[i]=inv[inf%i]*(inf-inf/i)%inf;
    inc(i,2,n){
    if(!v[i])prime[++tot]=i,g[i]=1-i;
    inc(j,1,tot){
        if(i*prime[j]>n)break;
        v[i*prime[j]]++;
        if(i%prime[j]==0){g[i*prime[j]]=g[i];break;}
        g[i*prime[j]]=g[i]*(1-prime[j]);
    }
    a[i]=(a[i-1]+(ll)g[i]*i%inf+inf)%inf;
    }
}
 
 
int main(){
    n=read();m=read();
    init();
    if(n>m)swap(n,m);
    for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
    j=min(n/(n/i),m/(m/i));
    ans+=(a[j]-a[i-1]+inf)%inf*(n/i)%inf*(m/i)%inf*(n/i+1)%inf*(m/i+1)%inf*inv[4]%inf;ans%=inf;
    }
    return 0*printf("%lld\n",ans);
}

2154: Crash的数字表格

Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 259 MB
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Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。