算法笔记:递归(c++实现)

递归定义

递归定义是一种直接或者间接引用自身的定义方法。

递归包括两部分：

    基础部分（直接形式列举）

    递归部分（给出方法）

如 斐波那契数列的递归定义

{ f0 = 0, f1 = 1

{f(n) = f(n-1)+f(n-2) n>1

递归算法

使用递归定义的算法

如

long Fib(long n)

{

  if(n<=1) return n;

  else return (Fib(n-2) +Fib(n-1));

}

递归的优点是简洁。缺点是耗时长(尤其是在递归次数多的时候）。

（使用如下代码可以得到运行时间）

#include<ctime>

clock_t start_t, end_t;

start_t = clock();

.............

end_t = clock();

std::cout << "Spend " << (double)(end_t - start_t)/1000.0 << " s\n";

 

其他的一些递归例子：

问题1 ：逆序输出正整数的各位数

设有正整数n = 12345,

输出各位数的逆序形式（54321）。

分析（使用递归）：

1. 首先输出末位数

2. 然后输出剩下的逆序形式

c++实现：

void print_digit(unsigned n)

{

std::cout << n%10;    //1.输出末位数，使用求余（%），

if (n >= 10)  //递归条件，非常重要，是递归停止的条件。

print_digit(n / 10); //2. 输出剩下的数的逆序形式，使用/ 得到剩下的。

}

问题2： 汉诺塔问题

 假设有3个塔座：x,y,z. 

塔座x上有从小到大编号为1，2，...n的n个圆盘，

要求把x的圆盘全部搬到z上，且：1.每次只能移动一个圆盘。2.大的盘子不能放在小的盘子上。

分析：

1.把第n个盘子移动到z上（先把n-1个盘子移动到y上）

2.把剩下的（n-1）盘子移动到z上

c++实现：

#include<iostream>

int count = 0;
//将第n个塔从a移动到b
void move_tower(int n, char a, char b)
{
  std::cout << n << ": "<<char(a) << "->" << char(b);
  std::cout<< "\n";
  count++;
}

//移动n个塔，从x移动倒z，以y为中间点
void hanio(int n, char x, char z, char y)
{
  if (n)
  {
    hanio(n - 1, x, y, z);
    move_tower(n, x, z);
    hanio(n - 1, y, z, x);
  }
}

int main()
{
  int active = 1;
  while (active)
  {
    count = 0;
    std::cout << "输入塔的层数: ";
    int n;
    std::cin >> n;
    if (n < 1)
    {
      std::cout<<"无效输入，即将退出\n";
      break;
    }
    hanio(n , 'x', 'z', 'y');
    std::cout << "用了" << count << "次\n";
  }
  system("pause");
  return 0;

问题3： 排列组合问题。

问题，设有n个自然数的集合，输出集合产生的各种排列（有序）。

如集合{0,1,2}的排列有

0,1,2; 0,2,1; 

1,0,2; 1,2,0;

2,0,1; 2,1,0;

问题分析：可以分为两步

1.确定排列的开头

2.排剩下的集合

c++实现：

#include<iostream>

void perm(int a[], int k, int n)
{
  if (k == n-1)          //当k=n-1时，即已经排列完了，进行输出。
  {
    for (int i = 0;i < n; i++)
      std::cout << a[i] << " ";
    std::cout << "\n";
  }
  else
  {
    for (int i = k; i < n; i++)        
    {
      int t = a[k]; a[k] = a[i]; a[i] = t;  //排第k位
      perm(a, k+1, n);          //剩下的 从(k+1)开始排
      t = a[k]; a[k] = a[i]; a[i] = t;  //还原
    }
  }
}

int main()
{
  int  a[10] = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 };
  perm(a, 0, 6);
  system("pause");
  return 0;
}