字符串哈希（HDU1686字符串匹配hash和kmp对比，POJ3974最长回文子串hash和manacher对比）

字符串哈希

Hash 的思想

Hash 的核心思想在于，将输入映射到一个值域较小、可以方便比较的范围。

$Warning！$

这里说的“值域较小”在不同的情况下意义是不一样的：

在​​哈希表​​中：值域需要小到能够接受线性的空间和时间。

而在字符串哈希中，值域需要小到能够快速比较($10^9 \, 10^{18}$都可以快速比较)。

同时，为了降低哈希冲突率，值域也不能太小。

我们定义一个把字符串映射到整数的函数$hash$，这个就是$hash$函数，可以很方便的来帮助我们判断两个字符串是否相等，我们希望哈希函数在值不一样的时候，两个字符串一定不同。

另外，反过来不需要成立，​​oi-wiki​​把这种条件称为单侧错误。

在$字符串hash$里面我们最应该关注的是，时间复杂度和$hash$的准确率。

一般我们的$hash$函数都是多项式的：$hash(s)=\sum s[i] \times b^{i} \quad(\bmod M)$

这里面的 $b$和$M$需要选取得足够合适才行，以使得 $hash$ 函数的值在$[0,M)$分布尽量均匀。

如果$b$和 $M$互质，在输入随机的情况下，这个$hash$ 函数在$[0,M)$上每个值概率相等，此时单次比较的错误率为$\frac{1}{M}$

代码实现

未优化版：

#include <string>
using namespace std;
const int M = 1e9 + 7;
const int B = 233;
typedef long long ll;
int gethash(const string &s) {
  int ans = 0, siz = s.size();
  for (int i = 0; i < siz; ++i) {
    ans = (ll)(ans * B + s[i]) % M;
  }
  return ans;
}
bool cmp(const string &s, const string &t) { return hash(s) == hash(t); }

hash 的分析与改进

错误率:若进行$n$次比较，每次错误率为$\frac{1}{M}$ ，那么总错误率是$1-(1-\frac{1}{M})^n$ 。在随机数据下，若$M=10^9+7$ ,$n=10^6$ ，错误率约为$\frac{1}{1000}$

所以，进行字符串哈希时，经常会对两个大质数分别取模，这样的话哈希函数的值域就能扩大到两者之积，错误率就非常小了。

关于多次询问子串哈希

单次计算一个字符串的哈希值复杂度是$O(n)$ ，其中 $n$为串长，与暴力匹配没有区别，如果需要多次询问一个字符串的子串的哈希值，每次重新计算效率非常低下。

一般采取的方法是对整个字符串先预处理出每个前缀的哈希值，将哈希值看成一个$b$进制的数对$M$取模的结果，这样的话每次就能快速求出子串的哈希了：

令$hash_i(s)$表示$hash(s[1...i])$，那么$hash(s[l...r])=\frac{hash_r(s)-hash_{l-1}(s)}{b^{l-1}}$，其中$\frac{1}{b^{l-1}}$也可以预处理出来，用​​​乘法逆元​​​或者是在直接比较哈希值的时候等式两边同时乘上$b$的若干次化为整式都可。

这样的话，就可以在$O(n)$的时间复杂度内预处理后达到$O(1)$的计算子串哈希值。

代码实现

#include <string>
using namespace std;
const int B = 233;
typedef long long ll;
ll h[1000005], p[1000005];

void init(string s) {
  p[0] = 1;
  h[0] = 0;
  int len = s.length();
  for (int i = 1; i <= len; ++i) {
    p[i] = p[i - 1] * B;
    h[i] = h[i - 1] * B + s[i - 1];
  }
}

ll gethash(int l, int r) { return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1]; }

字符串hash的应用

字符串匹配

求出模式串的哈希值后，求出文本串每个长度为模式串长度的子串的哈希值，分别与模式串的哈希值比较即可。

预处理复杂度为$O(n)$，查询为$O(1)$，然后$O(m)$遍历子串比较哈希值，总复杂度$O(n)$和​​​kmp​​的复杂度一样。

​​HDU1686​​，求模式串在文本串中出现的次数。

$hash$

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
const int B = 233;
typedef long long ll;
ll h[N], p[N];
void init(string s) {
  p[0] = 1;
  h[0] = 0;
  int len = s.length();
  for (int i = 1; i <= len; ++i) {
    p[i] = p[i - 1] * B;
    h[i] = h[i - 1] * B + s[i - 1];
  }
}

ll gethash(int l, int r) { return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1]; }
int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(0);
  int t;
  cin >> t;
  while (t--) {
    string a, b;
    cin >> a >> b;
    init(a);
    int ans = 0, lena = a.length(), lenb = b.length();
    ll hasha = gethash(1, lena);
    init(b);
    for (int i = lenb - lena + 1; i; --i) {
      if (hasha == gethash(i, i + lena - 1)) {
        ans++;
      }
    }
    cout << ans << endl;
  }
  return 0;
}

$kmp$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
const int M = 1e6 + 10;

int n, m;
int ne[N];
char s[M], p[N];
int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(0);
  int t;
  cin >> t;
  while (t--) {
    cin >> p + 1 >> s + 1;
    int ans = 0, n = strlen(p + 1), m = strlen(s + 1);
    for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
      while (j && p[i] != p[j + 1]) {
        j = ne[j];
      }
      if (p[i] == p[j + 1]) {
        j++;
      }
      ne[i] = j;
    }

    for (int i = 1, j = 0; i <= m; i++) {
      while (j && s[i] != p[j + 1]) {
        j = ne[j];
      }
      if (s[i] == p[j + 1]) {
        j++;
      }
      if (j == n) {
        {
          ans++;
          j = ne[j];
        }
      }
    }
    cout << ans << endl;
  }
  return 0;
}

最长回文子串

首先需要分别预处理正着和倒着的哈希值，然后，二分答案，判断是否可行时枚举回文中心（对称轴），哈希判断两侧是否相等。
​​​POJ3974​​，求最长回文子串的长度。

$hash$时间复杂度为$O(nlogn)$:

#include <cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
const int bas = 13331;
typedef long long ll;
int hashl[N << 1], hashr[N << 1], p[N << 1];
char s[N << 1];
ll gethash(int hash[], int l, int r) {
  return hash[r] - hash[l - 1] * p[r - l + 1];
}
int main() {
  int t = 1;
  p[0] = 1;
  for (int i = 1; i < 2 * N; i++) {
    p[i] = p[i - 1] * bas;
  }
  while (~scanf("%s", s + 1)) {
    if (strcmp(s + 1, "END") == 0) {
      break;
    }
    int n = strlen(s + 1);
    for (int i = n * 2; i > 0; i -= 2) {
      s[i] = s[i / 2];
      s[i - 1] = 'z' + 1;
    }
    n *= 2;
    for (int i = 1, j = n; i <= n; i++, j--) {
      hashl[i] = hashl[i - 1] * bas + s[i] - 'a' + 1;
      hashr[i] = hashr[i - 1] * bas + s[j] - 'a' + 1;
    }

    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      int l = 0, r = min(i - 1, n - i);
      while (l < r) {
        int mid = (l + r + 1) >> 1;
        if (gethash(hashl, i - mid, i - 1) !=
            gethash(hashr, n - (i + mid) + 1, n - (i + 1) + 1)) {
          r = mid - 1;
        } else {
          l = mid;
        }
      }
      if (s[i - l] == 'z' + 1) {
        ans = max(ans, l);
      } else {
        ans = max(ans, l + 1);
      }
    }
    printf("Case %d: %d\n", t++, ans);
  }

  return 0;
}

​​manacher​​​的时间复杂度$O(n)$:

#include <cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
char s1[N * 2], s2[N * 2]; // 开双倍数组
int p[N * 2], n; // p数组记录每点的回文长度， n记录数组长度

int manacher() {
  int mx = 0, id, ans = 0;
  for (int i = 1; i < n; ++i) {
    if (mx > i) {
      p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);
    } else {
      p[i] = 1;
    }
    while (s2[i + p[i]] == s2[i - p[i]]) {
      ++p[i];
    }
    if (p[i] + i > mx) {
      mx = p[i] + i, id = i;
    }
    if (p[i] > ans) {
      ans = p[i];
    }
  }
  return ans;
}

void init() { // 使字符长度变为两倍
  s2[0] = s2[1] = '#';
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    s2[(i << 1) + 2] = s1[i], s2[(i << 1) + 3] = '#';
  }
  n = (n << 1) + 2;
  s2[n] = '?';
}

int main() {
  int t = 1;
  while (~scanf("%s", s1)) {
    if (strcmp(s1, "END") == 0) {
      break;
    }
    n = strlen(s1);
    init();
    printf("Case %d: %d\n", t++, manacher() - 1);
  }
  return 0;
}