这几天正在复习算法,今天在看一篇文章时偶然看到这个题目,想了一下居然没什么思路...(抱歉,实在太菜.),文章中提示了一个关键词:Fibonacci数列.然后我又小百度了一下,找了一个具体分析实例,结合两处,这才理清了思路.(汗啊...基础全忘光了,这以后咋办啊...深感担忧...)


问题描述:

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶，请问这只青蛙跳上n级的台阶总共有多少种跳法？


问题分析:

设青蛙跳上n级台阶的跳法为f(n)种.

设Fibonacci数列的第x项值为fibo(x).

(1)当n=1时,f(n)=1

(2)当n=2时,f(n)=2

(3)当n>2时,分析可知,在跳上第n级台阶前一步,必然是在第(n-1)或(n-2)级台阶,故有f(n) = f(n-1) + f(n-2); 依此类推...

    则有:

f(n)

= f(n-1) + f(n-2)

= 2f(n-2) + f(n-3) 

= 3f(n-3) + 2f(n-4)

= 5 f(n-4) + 3f(n-5)

= 8f(n-5) + 5f(n-6)

= ...

= fibo(x+1)f(n-x)+fibo(x)f(n-(x+1))

=...

= fibo(n-1)f(n-(n-2)) + fibo(n-2)f(n-(n-1))

= fibo(n-1)f(2) + fibo(n-2)f(1)


简单的C++实现如下:

#include <iostream>
using namespace std;

// 非递归写法
int fibo(int n)  // 获取Fibonacci数列的第N项值
{
    if(n == 1 || n == 2)
        return 1;
    else
    {
        int a = 1;
        int b = 1;
        int tmp;
        for(int i = 3; i <= n; ++ i)
        {
            tmp = a;
            a = b;
            b += tmp;
        }
        return b;
    }
}

 递归写法
//int fibo(int n)
//{
//    if(n == 1 || n == 2)
//        return 1;
//    else 
//        return fibo(n-1) + fibo(n-2);
//}

int main()
{
    cout << "请输入楼梯的级数: ";

    int n;
    cin >> n;

    int sum;

    if(1==n)
        sum = 1;
    else if (2==n)
        sum = 2;
    else
    {
        sum = 2 * fibo(n-1) + fibo(n-2);
    }

    cout << "共有 " << sum << " 种跳法." << endl;

    return 0;
}