Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝

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lzyle 2023-07-04 19:25:28 ©著作权

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$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 是一种平衡树
$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 发音为[tri:p]
这个单词的构造选取了 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_03$ (树)的前两个字符和 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_04$ (堆)的后三个字符， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_05$
顾名思义
$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 把 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 和 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_04$ 结合了起来
它和 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 一样满足许多优美的性质
而引入堆目的就是为了维护平衡。
$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 的基础上添加了一个修正值
在满足 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 性质的基础上
$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 节点的修正值还满足最小堆性质
最小堆性质可以被描述为每个子树根节点都小于等于其子节点
于是， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 可以定义为有以下性质的二叉树：

若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值，而且它的根节点的修正值小于等于左子树根节点的修正值；
若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值，而且它的根节点的修正值小于等于右子树根节点的修正值；
它的左、右子树也分别为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ 。

图 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_16$ 为一个 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$

Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_18

修正值是节点在插入到 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中时随机生成的一个值

它与节点的值无关

下述代码给出了 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 的一般定义。

struct Treap_Node {
    Treap_Node *left, *right; //节点的左右子树的指针
    int value, fix; //节点的值和修正值
};

修正值全部满足最大堆性质也是可以的，在本文的介绍中，修正值全部是满足最小堆性质的。

为什么平衡

我们发现， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 会遇到不平衡的原因是因为有序的数据会使查找的路径退化成链
而随机的数据使 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 退化的概率是非常小的
在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中，修正值的引入恰恰是使树的结构不仅仅取决于节点的值，还取决于修正值的值
然而修正值的值是随机生成的
出现有序的随机序列是小概率事件
所以 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 的结构是趋向于随机平衡的。

二、如何构建 Treap

旋转

为了使 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中的节点同时满足 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 性质和最小堆性质

不可避免地要对其结构进行调整

调整方式被称为旋转

在维护 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 的过程中，只有两种旋转

分别是左旋转（简称左旋）和右旋转（简称右旋）

旋转是相对于子树而言的

左旋和右旋的命名体现了旋转的一条性质：

旋转的性质1

左旋一个子树，会把它的根节点旋转到根的左子树位置，同时根节点的右子节点成为子树的根

右旋一个子树，会把它的根节点旋转到根的右子树位置，同时根节点的左子节点成为子树的根

如图 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_28$ 所示，我们可以从图中清晰地看出左旋后的根节点降到了左子树，右旋后根节点降到了右子树

而且仍然满足 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 性质，于是有：

旋转的性质2

对子树旋转后，子树仍然满足 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 性质。

Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_31

利用旋转的两条重要性质

我们可以来改变树的结构

实际上我们恰恰是通过旋转使 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 节点之间满足堆序。

如图 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_33$ 所示的左边的一个 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ ，它仍然满足 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 性质，但是由于某些原因，节点 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_36$ 和节点 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_37$ 之间不满足最小堆序， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_36$ 作为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_37$ 的父节点，它的修正值大于左子节点的修正值

我们只有将 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_37$ 变成 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_36$ 的父节点，才能维护堆序

根据旋转的性质我们可以知道，由于 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_37$ 是 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_36$ 的左子节点，为了使 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_37$ 成为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_36$ 的父节点，我们需要把以 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_36$ 为根的子树右旋

右旋后， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_37$ 成为了 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_36$ 的父节点，满足堆序。

Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_49

由此我们可以总结出，旋转的意义在于：

旋转可以使不满足堆序的两个节点通过调整位置，重新满足堆序，而不改变 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 性质。

下述代码给出了两种旋转的实现。

void Treap_Left_Rotate(Treap_Node *&a) {//左旋 节点指针一定要传递引用
    Treap_Node *b = a->right;
    a->right = b->left;
    b->left = a;
    a = b;
}
void Treap_Right_Rotate(Treap_Node *&a) {//右旋 节点指针一定要传递引用
    Treap_Node *b = a->left;
    a->left = b->right;
    b->right = a;
    a = b;
}

遍历和查找

像大多数平衡树一样
在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中查找和遍历不会改变 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 的结构
所以在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中查找和遍历的方法与基本的二叉查找树完全相同
具体方法参见二叉查找树

插入

在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中插入元素与在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 中插入方法相似
首先找到合适的插入位置
然后建立新的节点，存储元素
但是要注意建立新的节点的过程中
会随机地生成一个修正值
这个值可能会破坏堆序
因此我们要根据需要进行恰当的旋转
具体方法如下：

从根节点开始插入；
如果要插入的值小于等于当前节点的值，在当前节点的左子树中插入，插入后如果左子节点的修正值小于当前节点的修正值，对当前节点进行右旋；
如果要插入的值大于当前节点的值，在当前节点的右子树中插入，插入后如果右子节点的修正值小于当前节点的修正值，对当前节点进行左旋；
如果当前节点为空节点，在此建立新的节点，该节点的值为要插入的值，左右子树为空，插入成功。

举例说明

如图 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_56$ ，在已知的 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中插入值为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_36$ 的元素

找到插入的位置后，随机生成的修正值为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_59$ 。

Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_60

新建的节点 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_36$ 与他的父节点 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_62$ 之间不满足堆序

对以节点 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_62$ 为根的子树左旋，如图 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_64$ 。

Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_65

节点 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_36$ 与其父节点 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_16$ 仍不满足最小堆序

对以节点 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_16$ 为根的子树右旋，如图 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_69$

Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_70

至此，节点 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_36$ 与其父亲 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_37$ 满足堆序，调整结束。

在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中插入元素的期望时间是 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_74$

下述代码为在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中插入一个值为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_33$ 的元素。

Treap_Node *root;
void Treap_Insert(Treap_Node *&P, int value) {//节点指针一定要传递引用
    if (!P) {//找到位置，建立节点
        P = new Treap_Node;
        P->value = value;
        P->fix=rand();//生成随机的修正值
    }
    else if (value <= P->value) {
        Treap_Insert(P->left, value);
        if (P->left->fix < P->fix)
        Treap_Right_Rotate(P);//左子节点修正值小于当前节点修正值，右旋当前节点
    }
    else {
        Treap_Insert(P->right, value);
        if (P->right->fix < P->fix)
        Treap_Left_Rotate(P);//右子节点修正值小于当前节点修正值，左旋当前节点
    }
}
int main() {
    Treap_Insert(root, 7);//在 Treap 中插入值为 7 的元素
    return 0;
}

删除

与 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 一样，在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中删除元素要考虑多种情况

我们可以按照在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 中删除元素同样的方法来删除 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中的元素

即用它的后继（或前驱）节点的值代替它，然后删除它的后继（或前驱）节点

为了不使 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 向一边偏沉

我们需要随机地选取是用后继还是前驱代替它

并保证两种选择的概率均等

上述方法期望时间复杂度为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_74$

但是这种方法并没有充分利用 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 已有的随机性质

而是重新得随机选取代替节点

我们给出一种更为通用的删除方法，这种方法是基于旋转调整的

首先要在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 树中找到待删除节点的位置，然后分情况讨论：

情况一，该节点为叶节点或链节点，则该节点是可以直接删除的节点

若该节点有非空子节点，用非空子节点代替该节点的，否则用空节点代替该节点，然后删除该节点。

情况二，该节点有两个非空子节点

我们的策略是通过旋转，使该节点变为可以直接删除的节点。如果该节点的左子节点的修正值小于右子节点的修正值，右旋该节点，使该节点降为右子树的根节点，然后访问右子树的根节点，继续讨论；反之，左旋该节点，使该节点降为左子树根节点，然后访问左子树的根节点，继续讨论，知道变成可以直接删除的节点。

下面给一个删除例子：在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中删除值为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_28$ 的元素

如图 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_87$ ，首先在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中找到 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_28$ 的位置

Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_90

发现节点 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_28$ 有两个子节点，且左子节点的修正值小于右子节点的修正值，需要右旋节点 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_28$ ，如图 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_93$ 。

Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_94

旋转后，节点 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_28$ 仍有两个节点，右子节点修正值较小，于是左旋节点 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_28$ ，如图 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_97$ 。

Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_98

此时，节点 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_28$ 只有一个子节点，可以直接删除，用它的左子节点代替它，删除本身，如图 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_100$ 。

Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_101

删除的复杂度稍高，但是期望时间仍为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_74$

但是在程序中更容易实现

下述代码给出了后一种(即上述图例中)的删除方法

在给定的 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中删除值为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_28$ 的节点。

BST_Node *root;
void Treap_Delete(Treap_Node *&P, int value) {//节点指针要传递引用
    if (value == P->value) {//找到要删除的节点 对其删除
        if (!P->right or !P->left) {//情况一，该节点可以直接被删除
            Treap_Node *t = P;
            if (!P->right) P = P->left; //用左子节点代替它
            else P = P->right; //用右子节点代替它
            delete t; //删除该节点
        }
        else {//情况二
            if (P->left->fix < P->right->fix) {//左子节点修正值较小，右旋
                Treap_Right_Rotate(P);
                Treap_Delete(P->right, value);
            }
            else {//左子节点修正值较小，左旋
                Treap_Left_Rotate(P);
                Treap_Delete(P->left, value);
            }
        }
    }
    else if (value < P->value) Treap_Delete(P->left, value); //在左子树查找要删除的节点
    else Treap_Delete(P->right, value); //在右子树查找要删除的节点
}
int main() {
    Treap_Delete(root, 6);//在Treap中删除值为6的元素
    return 0;
}

三、为什么要用 Treap

T r e a p Treap Treap的特点

$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ 简明易懂
$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ 只有两种调整方式，左旋和右旋
而且即使没有严密的数学证明和分析
$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ 的构造方法，平衡原理也是不难理解的
只要能够理解 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_108$ 和堆的思想，理解Treap当然不在话下
$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ 易于编写
$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ 只需维护一个满足堆序的修正值，修正值一经生成无需修改
相比较其他各种平衡树， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ 拥有最少的调整方式，仅仅两种相互对称的旋转
所以 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ 当之无愧是最易于编码调试的一种平衡树
$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ 稳定性佳
$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ 的平衡性虽不如 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_115$ 、红黑树、 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_116$ 等平衡树
但是 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ 也不会退化，可以保证期望 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_118$ 的深度
$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ 的稳定性取决于随机数发生器
$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ 具有严密的数学证明
$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ 期望 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_118$ 的深度，是有严密的数学证明的
但这不是本文介绍的重点，大多略去
$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ 具有良好的实践效果
各种实际应用中， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ 的稳定性表现得相当出色，没有因为任何的构造出的数据而退化
于是在信息学竞赛中，不少选手习惯于使用 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_15$ ，均取得了不俗的表现。

T r e a p Treap Treap与其他平衡树的比较

与 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_108$ 相比：

显而易见的， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 更加容易编程实现

对于完全随机的数据， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 会比 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 更快，因为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 没有旋转等操作

但是在实际的应用中，往往会存在大量有序的数据，这时 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 会退化，而 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 仍旧能够保持随机的平衡。

与 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_133$ 相比：

$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_134$ 和 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 一样，不需要维护任何附加域，比 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 在空间上有节约

$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_134$ 伸展操作中要用到的旋转相对于 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 要稍复杂，编程实现不如 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 容易

而且 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_134$ 在查找时也会调整结构，这使得 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_134$ 灵活性稍有欠缺

$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_134$ 的查找插入删除等基本操作的时间复杂度为均摊 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_74$ 而非期望

可以故意构造出使 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_134$ 变得很慢的数据，这在信息学竞赛中是很不利的

$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_134$ 找到了一个时间、空间和编程效率上的平衡点。

与 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_115$ 、红黑树相比：

$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_147$ 、红黑树的平衡性是严格的，稳定性表现得十分出色

与 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 一样，它们都要维护附加的域(高度、颜色)来实现平衡

$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_147$ 和红黑树在调整的过程中，旋转都是均摊 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_150$ 的，而 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 要 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_74$

与 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 的随机修正值不同，它们维护的附加域要动态的调整，而 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 的随机修正值一经生成不再改变，这一点使得灵活性不如 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$

最重要的是， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_147$ 和红黑树都是时间效率很高的经典算法，在许多专业的应用领域(如 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_157$ )有着十分重要的地位。

然而 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_147$ 和红黑树的编程实现的难度要比 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 大得多，正是由于过于复杂的编程，使得它们在信息学竞赛中备受冷落。

与 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_116$ 相比：

作为平衡树中的新秀， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_161$ 有着能与 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_147$ 和红黑树相媲美的严格平衡性，而实现的难度却远小于 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_147$ 和红黑树

$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_161$ 的平衡附加域是子树的大小，而非其他的“无用”的值

$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_161$ 十分简洁高效，灵活性也很优秀

编程实现的难度要稍大于 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$

然而 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_161$ 没有受到学术界重视，原因是因为它只是在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_147$ 的基础上进行常数级的优化，而并没有突破性的进展。

表格 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_169$ 为几种平衡树的各种特性的对比。

Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_170

四、Treap 的更多操作与技巧

查找、插入、删除是平衡树最基本的三种操作，但是在实际的应用中许多其他的操作都是必要的，而且 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 这种强大的数据结构的功能远远不止此，下面我们要讨论的是 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 更多的操作，以及一些技巧。

懒惰删除

基本的删除操作，比起插入和查找要稍有复杂
有时候，我们不愿意再写一段删除的程序代码，于是采用了懒惰删除（ $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_173$ $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_174$ ）的方法
懒惰删除就是在删除时，仅仅将元素找到后给元素打上“已被删除”的标记，而实际上不把它从平衡树中删除。
这种做法的优点是节约代码量，减少编程时间
但它的缺点也是很严重的：如果插入量和删除量都很大，这种删除方式会在平衡树中留下大量的“废节点”，浪费空间，还影响效率。
而且为了标记节点删除，我们还需要在节点定义中添加一个记录节点是否被删除的域
所以，只有在能够确定平衡树的吞吐量不是很大，或者不同数据的个数有限时，可以使用懒惰删除。

查找最值

在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_07$ 的删除中，我们需要通过找待删除节点的后继(或前驱)，也就是其右子树的最大值（左子树的最小值）
在平衡树中查找最值也是经常会用到的一种操作，方法很简单。
查找一个子树的最小值，从子树的根开始访问，如果当前节点左子节点非空，访问当前节点的左子节点
如果当前节点左子节点已经为空，那么当前节点的值就是这个子树的最小值。
同理，查找一个子树的最大值，从子树的根开始访问，如果当前节点右子节点非空，访问当前节点的右子节点
如果当前节点右子节点已经为空，那么当前节点的值就是这个子树的最大值。
下述代码为在一个给定的 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中查找最大值和最小值的非递归实现

Treap_Node *root;
int Treap_FindMin(Treap_Node *P) {
    while (P->left) P = P->left;//如果有左子节点，访问左子节点
    return P->value;
}
int Treap_FindMax(Treap_Node *P) {
    while (P->right) P = P->right;//如果有右子节点，访问右子节点
    return P->value;
}
int main() {
    int Min, Max;
    Min = Treap_FindMin(root);//在 Treap 中查找最小值
    Max = Treap_FindMax(root);//在 Treap 中查找最大值
    return 0;
}

前驱与后继

求一个元素在平衡树(或子树)中的前驱，定义为查找该元素在平衡树中不大于该元素的最大元素
相似的，求一个元素在平衡树(或子树)中的后继，定义为查找该元素在平衡树中不小于该元素的最小元素。
从定义中看出，求一个元素在平衡树中的前驱和后继，这个元素不一定是平衡树中的值，而且如果这个元素就是平衡树中的值，那么它的前驱与后继一定是它本身
我们给出求前驱的基本思想：贪心逼近法
在树中查找，一旦遇到一个不大于这个元素的值的节点，更新当前的最优的节点，然后在当前节点的右子树中继续查找，目的是希望能找到一个更接近于这个元素的节点
如果遇到大于这个元素的值的节点，不更新最优值，在当前节点的左子树中继续查找
直到遇到空节点，查找结束，当前最优的节点的值就是要求的前驱
求后继的方法与上述相似，只是要找不小于这个元素的值的节点
下面是具体的算法描述。
求前驱：

从根节点开始访问，初始化最优节点为空节点；
如果当前节点的值不大于要求前驱的元素的值，更新最有节点为当前节点，访问当前节点的右子节点；
如果当前节点的值大于要求前驱的元素的值，访问当前节点的左子节点；
如果当前节点是空节点，查找结束，最优节点就是要求的前驱。

求后继：

从根节点开始访问，初始化最优节点为空节点；
如果当前节点的值不小于要求前驱的元素的值，更新最有节点为当前节点，访问当前节点的左子节点；
如果当前节点的值小于要求前驱的元素的值，访问当前节点的右子节点；
如果当前节点是空节点，查找结束，最优节点就是要求的后继。

在求前驱和后继的过程中，我们恰恰访问了从根到叶节点的一条完整的路径
由于 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 的深度是 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_74$ 的，所以求前驱和后继算法的时间复杂度为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_74$
下述代码为在一个已知的 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中求值为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_16$ 的元素前驱和后继

Treap_Node *root;
//访问节点 P，查找 value 的前驱，当前最优节点为 optimal
Treap_Node * Treap_pred(Treap_Node *P, int value, Treap_Node *optimal) {
    if (!P) return optimal; //访问到空节点，返回最优节点，查找结束
    if (P->value <= value) return Treap_pred(P->right, value, P); //更新最优值，在右子树中继续查找
    else return Treap_pred(P->left, value, optimal); //左子树中继续查找
}
//访问节点 P，查找 value 的后继，当前最优节点为 optimal
Treap_Node * Treap_succ(Treap_Node *P, int value, Treap_Node *optimal) {
    if (!P) return optimal; //访问到空节点，返回最优节点，查找结束
    if (P->value >= value) return Treap_succ(P->left, value, P); //更新最优值，在左子树中继续查找
    else return Treap_succ(P->right, value, optimal); //在右子树中继续查找
}
int main() {
    Treap_Node *pred, *succ;
    pred = Treap_pred(root, 5, 0); //查找 5 在 Treap 中的前驱
    succ = Treap_succ(root, 5, 0); //查找 5 在 Treap 中的后继
    return 0;
}

根据前驱和后继的定义，我们还可以以此来查找某个元素与 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中所有元素绝对值之差最小元素
如果按照数轴上的点来解释的话，就是求一个点的最近距离点
方法就是分别求出该元素的前驱和后继，比较前驱和后继哪个距离基准点最近。
求前驱、后继和距离最近点是许多算法中经常要用到的操作， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 都能够高效地实现。

合并重复节点

$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中很可能存在值相同的节点，在某些特殊情况下，重复的节点可能会有很多，但是我们却把它们分别存成一个个节点
我们有一种常数级的优化，把重复的节点合并为一个节点
方法就是在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 节点中增加一个域，记录相同的这个值的个数，称为节点的权值，记为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_186$
在插入时，如果找到了已存在的相同的值，不必再开辟新的节点，只需把已有的节点的权值增加 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_169$
删除时，只需把权值减少 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_169$ ，如果权值为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_189$ 时，才对节点正式删除
这种优化的效果很好，首先是在插入时节省了开辟空间的时间
更好的是在删除时，避免了大量的旋转
当重复的值非常多的时候，这种优化是十分惊人的
下述代码为带重复计数的 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 节点的定义

struct Treap_Node {
    Treap_Node *left, *right; //节点的左右子树的指针
    int value, fix, weight; //节点的值和修正值，weight 为权值
};

$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中元素的类型与排序的规则

到这里为止，上文中提到的 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中元素的类型，我们都默认为了整数型
但实际上类型并没有限制，只要是能够比较大小的类型，例如浮点数型、字符串型，也可以是复合类型(结构类型、对象类型)
假若我们要实现一种多关键字类型排序的 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ ，我们只需自定义大于、小于、等于运算符的意义(运算符重载)，使它们有确定的大小关系，这样就可以在不修改 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 各种操作代码的基础上实现多关键字类型排序的 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$
$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 定义中“左小于中小于右”，仅仅是逻辑上的定义，实际上我们可以以任何有序的规则排序，即使是左大于中大于右，只需要在比较元素大小的函数中修改定义即可
在以上时间复杂度的分析中，我们默认两个元素大小比较时间为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_150$ ，但实际上某些复杂的类型间比较大小不是 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_150$ 的，如字符串，是 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_199$ ， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_200$ 为字符串长度
平衡树并不适合作为所有数据类型的数据的有序存储容器，因为可能有些类型的两个元素直接相互比较大小是十分耗时的，这个常数时间的消耗是无法忍受的
例如字符串，作为检索字符串的容器，我们更推荐 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_201$ ，而不是平衡树
平衡树仅适合做元素间相互比较时间很少的类型的有序存储容器。

维护子树大小的必要性

$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 是一种排序的数据结构，如果我们想查找第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_203$ 小的元素或者询问某个元素在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中从小到大的排名时，我们就必须知道每个子树中节点的个数
我们称以一个子树的所有节点的权值之和，为子树的大小
由于插入、删除、旋转等操作，会使每个子树的大小改变，所以我们必须对子树的大小进行动态的维护。

对于旋转，我们要在旋转后对子节点和根节点分别重新计算其子树的大小。
对于插入，新建立的节点的子树大小为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_169$ 。在寻找插入的位置时，每经过一个节点，都要先使以它为根的子树的大小增加 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_169$ ，再递归进入子树查找。
对于删除，在寻找待删除节点，递归返回时要把所有的经过的节点的子树的大小减少 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_169$ 。要注意的是，删除之前一定要保证待删除节点存在于 Treap 中。

下述代码为维护子树大小的 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 节点的定义，以及旋转

struct Treap_Node {
    Treap_Node *left, *right; //节点的左右子树的指针
    int value, fix, weight, size; //节点的值，修正值，重复计数，子树大小
    inline int lsize() {return left ? left->size ? 0; } //返回左子树的节点个数
    inline int rsize() {return right ? right->size ? 0; } //返回右子树的节点个数
};
void Treap_Left_Rotate(Treap_Node *&a) {//左旋 节点指针一定要传递引用
    Treap_Node *b = a->right;
    a->right = b->left;
    b->left = a;
    a = b;
    b = a->left;
    b->size = b->lsize() + b->rsize() + b->weight;
    a->size = a->lsize() + a->rsize() + a->weight;
}
void Treap_Right_Rotate(Treap_Node *&a) {//右旋 节点指针一定要传递引用
    Treap_Node *b = a->left;
    a->size = b->rsize() + a->rsize() + a->weight;
    b->size = b->lsize() + a->size + b->weight;
    a->left = b->right;
    b->right = a;
    a = b;
    b = a->left;
    b->size = b->lsize() + b->rsize() + b->weight;
    a->size = a->lsize() + a->rsize() + a->weight;
}

查找排名第k的元素

只有当我们维护以每个节点为根的子树的大小，才能查找排名第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_203$ 的元素
根据 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 的一个重要性质， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 的子树也是 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ ，我们可以用分而治之的思想来查找排名第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_203$ 的元素
首先，在一个子树中，根节点的排名取决于其左子树的大小，如果根节点有权值 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_186$ ，则根节点 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_215$ 的排名是一个闭区间 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_216$ ，且 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_217$
根据此，我们可以知道，如果查找排名第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_203$ 的元素， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_219$ ，则要查找的元素就是 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_215$ 所包含元素
如果 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_221$ ，那么排名第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_203$ 的元素一定在左子树中，且它还一定是左子树的排名第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_203$ 的元素
如果 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_224$ ，则排名第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_203$ 的元素一定在右子树中，是右子树排名第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_226$ 的元素
根据这种策略，我们可以总结出算法 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_93$ ：

定义 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_228$ 为当前访问的节点，从根节点开始访问，查找排名第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_229$ 的元素；
若满足 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_230$ ，则当前节点包含的元素就是排名第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_229$ 的元素；
若满足 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_232$ ，则在左子树中查找排名第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_229$ 的元素；
若满足 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_234$ ，则在右子树中查找排名第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_235$ 的元素。

下述代码为在一个给定的 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中查找排名第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_56$ 的元素。

Treap_Node *root;
Treap_Node * Treap_Findkth(Treap_Node *P, int k) {
    if (k < P.lsize() + 1) //左子树中查找排名第 k 的元素
    return Treap_Findkth(P->left, k);
    else if (k > P.lsize() + P.weight) //在右子树中查找排名第 k-(P.lsize() + P.weight)的元素
    return Treap_Findkth(P->right, k - (P.lsize() + P.weight));
    else return P; //返回当前节点
}
int main() {
    Treap_Node *result;
    result = Treap_Findkth(root, 8); //在 Treap 中查找排名第 8 的元素
    return 0;
}

根据上述算法，我们还可以实现查找逻辑第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_203$ 大元素，即查找第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_239$ 小元素， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_240$ 为整个 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 的大小
甚至我们可以取代专门写的查找最值的算法
由于查找路径必定是一条子树上的路径，长度不会超过 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 的深度，所以时间复杂度为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_74$ 。

求元素的排名

我们通过排名可以找到对应元素，也希望求出元素在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中排名，或者成为求元素的秩
我们规定，如果在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中有多个重复的元素，则这个元素的排名为最小的排名
例如 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_246$ 中， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_36$ 的排名为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_62$
在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中求元素的排名的方法与查找第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_203$ 小的数是很相似的，可以近似认为是互为逆运算。
我们的基本思想是查找要求的元素在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中的位置，且在查找路径中统计出小于要求的元素的节点的总个数，要求的元素的排名就是总个数+ $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_169$
算法为：

定义 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_228$ 为当前访问的节点， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_254$ 为当前已知的比要求的元素小的元素个数。从根节点开始查找要求的元素，初始化 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_254$ 为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_256$ ；
若要求的元素等于当前节点元素，要求的元素的排名为区间 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_257$ 内任意整数；
若要求的元素小于当前节点元素，在左子树中查找要求的元素的排名；
若要求的元素大于当前节点元素，更新 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_254$ 为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_259$ ，在右子树中查找要求的元素的排名。

下述代码为在一个已知的 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中求元素 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_16$ 的排名。

Treap_Node *root;
int Treap_Rank(Treap_Node *P, int value, int cur) {//求元素 value 的排名
    if (value == P->value) return P->lsize() + cur + 1; //返回元素的排名
    else if (value < P->value) //在左子树中查找
    return Treap_Rank(P->left, value, cur);
    else //在右子树中查找
    return Treap_Rank(P->right, value, cur + P->lsize() + weight);
}
int main() {
    int rank;
    rank = Treap_Rank(root, 8, 0); //在 Treap 中求元素 8 的排名
    return 0;
}

维护附加关键字

有时候，我们建立 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 维护的顺序关键字并不是我们主要关心的内容，而要关心的是附加关键字。根据不同目的维护的附加关键字的处理方法也不尽相同，下文仅仅以一个例子介绍附加关键字的处理方法。

顺序前缀和

[问题描述]

要求维护一个由二元组构成的序列，使序列中每个元素按第一关键字升序排列
操作包括：添加一个新元素，删除一个已有元素，查询这个序列的第二关键字最大前缀和
例如已知的序列 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_263$
有如下几项操作：
添加 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_264$ 入序列，添加 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_265$ 入序列，从序列中删除 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_266$ ，查询最大前缀和
第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_169$ 次操作后，序列变成了 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_268$
第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_37$ 次操作后，序列变成了 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_270$
第 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_62$ 次操作后，序列变成了 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_272$
此时序列的 i 项前缀的和 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_273$
所以序列的最大前缀和是前 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_16$ 项和，值为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_62$ 。
解析
由于序列总是要求升序排列，我们可以想到以元素第一关键字升序排列，使用 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 维护。
由于每次要查询的是第二关键字构成的序列的最大前缀和，我们可以容易想到，对于第一关键字相同的元素，第二关键字大的元素应放在前面。
规定排序的顺序之后，我们要考虑如何维护前 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子树_277$ 项元素的第二关键字的和(以下简称前 i 项的和)。设每个节点的第一关键字为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_278$ ，第二关键字为 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_279$ ，我们要在 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 中的节点添加附加域 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_281$ ，表示以该节点为根的子树中所有元素的第二关键字和，以及附加域 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_282$ ，表示以该节点为根的子树中所有元素构成的顺序序列最大的前缀和。
$Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_281$ 值可以像维护子树的大小 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_284$ 值一样的递归地维护，而且旋转时也要重新计算
而对于节点 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_285$ 的 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_282$ 值则要分情况讨论：
情况一，当前子树最大前缀的结尾在该节点的左子树，此时 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_287$ ；
情况二，当前子树最大前缀的结尾恰好是该节点，此时 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_288$ ；
情况三，当前子树最大前缀的结尾在该节点的右子树， $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_子节点_289$ 。
在实际的插入和删除过程中，每次旋转后都要重新计算 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆_281$ 值，然后依次计算旋转后的子节点和根节点的 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_Treap_282$ 值
维护好后，每次查询最大前缀和，只需要 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_数据结构_150$ 的时间。
时刻要记住 $Treap图文详解、效率分析与拓展应用——清华大学计算机系郭家宝_最小堆$ 是一种二叉树结构，它具有良好的分治结构，所以在维护各种具体的附加关键字时，二分或三分递推的思想一般都是解决问题的关键。