深度优先搜索（DFS）

深度优先搜索遍历类似于树的先根遍历，是树的先根遍历的推广，在算法竞赛和考试中经常用到，在优化图算法时，也非常方便，就像是在走迷宫过程中，当碰到岔路口时“深度”作为前进的关键词，不碰到死胡同就不回头，因此把这种搜索的方式称为深度优先搜索（Depth First Search, DFS）。

深度优先搜索会走遍所有路径，并且每次走到死胡同就代表一条完整路径的形成。这就是说，深度优先搜索是一种枚举所有完整路径以遍历所有情况的搜索方法。

使用递归可以很好地实现深度优先搜索。当然也可以使用非递归的方法实现DFS，但是非递归的方法一般情况下会比递归的方法要麻烦。在使用递归的时候，系统还会调用一个叫系统栈的东西来存放递归中的每一层状态，因此使用递归来实现DFS的本质其实还是栈。

接下来讲解一个例子，读者需要从中理解其中包含的DFS思想，并尝试学习写出本例的代码。

有n件物品，每件物品的重量为w[i]，价值为c[i]。现在需要选出若干件物品放入一个容量为V的背包中，使得在选入背包的物品重量和不超过容量V的前提下，让背包中物品的价值之和最大，求最大价值。(1≤n≤20)

在这个问题中，需要从n件物品中选择若干件物品放入背包，使它们的价值之和最大。这样的话，对每件物品都有选或者不选两种选择，而这就是所谓的“岔道口”。那么什么是“死胡同”呢？——题目要求选择的物品重量总和不能超过V，因此一旦选择的物品重量总和超过V，就会到达“死胡同”，需要返回最近的“岔道口”。

显然，每次都要对物品进行选择，因此DFS函数的参数中必须记录当前处理的物品编号index。而题目中涉及了物品的重量与价值，因此也需要参数来记录在处理当前物品之前，已选物品的总重量sumW与总价值sumC。于是DFS函数看起来是这个样子：

void DFS(int index,int sumW,int sumC){
...
}

于是，如果选择不放入index号物品，那么sumW与sumC就将不变，接下来处理 index+1号物品，即前往DFS(index+1,sumW,sumC)这条分支；而如果选择放入index号物品，那么sumW将增加当前物品的重量 w[index]，sumC将增加当前物品的价值c[index]，接着处理index+1号物品，即前往DFS(index+1,sumW+w[index],sumC+c[index])这条分支。

一旦index增长到了n，则说明已经把n件物品处理完毕（因为物品下标为从0到n-1），此时记录的sumW和sumC就是所选物品的总重量和总价值。如果sumW不超过V且sumC大于一个全局的记录最大总价值的变量 maxValue，就说明当前的这种选择方案可以得到更大的价值，于是用sumC更新maxValue。

下面的代码体现了上面的思路，请注意“岔道口”和“死胡同”在代码中是如何体现的：

#include<cstdio>
const int maxn = 30;
int n,V,maxValue = 0; //物品件数n，背包容量v，最大价值maxValue
int w[maxn],c[maxn];  //w[i]为每一件物品的重量，c[i]为每件物品的价值
//DFS，index为当前处理的物品编号
//sumW和sumC分别为当前总重量和当前总价值
void DFS(int index,int sumW,int sumC) {
  if(index == n){ //已经完成对n件物品的选择（死胡同） 
    if(sumW<=V&&sumC>maxValue) {
      maxValue = sumC;  //不超过背包容量时更新最大价值maxValue 
    }
    return; 
  } 
  //岔道口
  DFS(index+1,sumW,sumC); //不选第index件物品 
  DFS(index+1,sumW+w[index],sumC+c[index]); //选第index件物品 
   
} 
int main(){
  scanf("%d%d",&n,&V);
  for(int i=0;i<n;i++){
    scanf("%d",&w[i]);  //每件物品的重量 
  }
  for(int i=0;i<n;i++){
    scanf("%d",&c[i]);  //每件物品的价值 
  }
  DFS(0,0,0);   //初始化为第0件物品、当前总重量和总价值均为0 
  printf("%d\n",maxValue);
  return 0;
}

输入数据：

5 8
3 5 1 2 2
4 5 2 1 3

输出结果：

可以注意到，由于每件物品有两种选择，因此上面代码的复杂度为O(2)，这看起来不是很优秀。但是可以通过对算法的优化，来使其在随机数据的表现上有更好的效率。在上述代码中，总是把n件物品的选择全部确定之后オ去更新最大价值，但是事实上忽视了背包容量不超过V这个特点。也就是说，完全可以把对sumW的判断加入“岔道口”中，只有当sumW≤v时才进入岔道，这样效率会高很多，代码如下，只更改了DFS：

#include<cstdio>
const int maxn = 30;
int n,V,maxValue = 0; //物品件数n，背包容量v，最大价值maxValue
int w[maxn],c[maxn];  //w[i]为每一件物品的重量，c[i]为每件物品的价值
//DFS，index为当前处理的物品编号
//sumW和sumC分别为当前总重量和当前总价值
void DFS(int index,int sumW,int sumC) {
  if(index == n){ //已经完成对n件物品的选择（死胡同） 
    return; 
  } 
  //岔道口
  DFS(index+1,sumW,sumC); //不选第index件物品 
  //只有加入第index件物品后未超出容量V，才能继续 
  if(sumW+w[index]<=V) {
    if(sumC+c[index]>maxValue)
      maxValue = sumC+c[index]; //更新最大价值maxValue 
  }
  DFS(index+1,sumW+w[index],sumC+c[index]); //选第index件物品 
} 
int main(){
  scanf("%d%d",&n,&V);
  for(int i=0;i<n;i++){
    scanf("%d",&w[i]);  //每件物品的重量 
  }
  for(int i=0;i<n;i++){
    scanf("%d",&c[i]);  //每件物品的价值 
  }
  DFS(0,0,0);   //初始化为第0件物品、当前总重量和总价值均为0 
  printf("%d\n",maxValue);
  return 0;
}

可以看到，原先第二条岔路是直接进入的，但是这里先判断加入第index件物品后能否满足容量不超过V的要求，只有当条件满足时才更新最大价值以及进入这条岔路，这样可以降低计算量，使算法在数据不极端时有很好的表现。这种通过题目条件的限制来节省DFS计算量的方法称作剪枝（前提是剪枝后算法仍然正确）。剪枝是一门艺术，学会灵活运用题目中给出的条件，可以使得代码的计算量大大降低，很多题目甚至可以使时间复杂度下降好几个等级。

例如这样一个问题： 给定N个整数(可能有负数)，从中选择K个数，使得这K个数之和恰好等于一个给定的整数X：如果有多种方案，选择它们中元素平方和最大的一个。数据保证这样的方案唯一。例如，从4个整数{2,3,3,4}中选择2个数，使它们的和为6，显然有两种方案{2,4}与(3,3}，其中平方和最大的方案为{2,4}。

与之前的问题类似，此处仍然需要记录当前处理的整数编号index；由于要求恰好选择K个数，因此需要一个参数nowK来记录当前已经选择的数的个数；另外，还需要参数sum和sumSqu分别记录当前已选整数之和与平方和。于是DFS就是下面这个样子：

void DES(int index,int nowK,int sum, int sumSqu){
  ...
}

此处主要讲解如何保存最优方案，即平方和最大的方案。首先，需要一个数组temp，用以存放当前已经选择的整数。这样，当试图进入“选index号数”这条分支时，就把A[index]加入temp中；而当这条分支结束时，就把它从temp中去除，使它不会影响“不选 index号数”这条分支。接着，如果在某个时候发现当前已经选择了K个数，且这K个数之和恰好为x时，就去判断平方和是否比已有的最大平方和 maxSumSqu还要大：

如果确实更大，那么说明找到了更优的方案，把temp赋给用以存放最优方案的数组ans。这样，当所有方案都枚举完毕后，ans存放的就是最优方案， maxSumSqu存放的就是对应的最优值

输入：

4 2 6
2 3 3 4

输出：

2 4

程序代码：

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn = 30;
//序列A中n个数选k个数使得和为x，最大平方和为maxSumSqu 
int n,k,x,maxSumSqu = -1,A[maxn];
//temp存放临时方案，ans存放平方和最大的方案
vector<int> temp, ans;
//当前处理index号整数，当前已选取的整数个数时nowK
//当前已选整数之和为sum，当前已选整数平方和为sumSqu
void DFS(int index,int nowK,int sum,int sumSqu){
  if(nowK == k && sum == x){  //找到k个数的和为x 
    if(sumSqu>maxSumSqu){ //如果比当前找到更优 
      maxSumSqu = sumSqu; //更新最大平方和 
      ans = temp; //更新最优方案 
    }
    return;
  }
  //已经处理完n个数，或者超过k个数，或者和超过x，返回
  if(index == n||nowK>k||sum>x)
    return ;
  //选index号数
  temp.push_back(A[index]);
  DFS(index+1,nowK+1,sum+A[index],sumSqu+A[index]*A[index]);
  temp.pop_back();
  //不选index号数
  DFS(index+1,nowK,sum,sumSqu); 
} 
 
int main(){
  scanf("%d%d%d",&n,&k,&x);
  for(int i=0;i<n;i++){
    scanf("%d",&A[i]);  
  }
  DFS(0,0,0,0);   
  for(vector<int>::iterator it = ans.begin();it!=ans.end();it++){
    printf("%d ",*it);
  } 
  return 0;
}

运行结果：

上面这个问题中的每个数都只能选择一次，现在稍微修改题目：假设N个整数中的每个都可以被选择多次，那么选择K个数，使得K个数之和恰好为X。例如有三个整数1、4、7，需要从中选择5个数，使得这5个数之和为17。显然，只需要选择3个1和2个7，即可得到17。

这个问题只需要对上面的代码进行少量的修改即可。由于每个整数都可以被选择多次，因此当选择了 index 号数时，不应当直接进入 index+1 号数的处理。显然，应当能够继续选择 index 号数，直到某个时刻决定不再选择 index 号数，就会通过“不选 index号数”这条分支进入 index+1 号数的处理。因此只需要把“选index号数”这条分支的代码修改为DFS(index,nowK+1,sum+A[index],sumSqu+A[index]*A[index]); 即可。

程序代码：

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn = 30;
//序列A中n个数选k个数使得和为x，最大平方和为maxSumSqu 
int n,k,x,maxSumSqu = -1,A[maxn];
//temp存放临时方案，ans存放平方和最大的方案
vector<int> temp, ans;
//当前处理index号整数，当前已选取的整数个数时nowK
//当前已选整数之和为sum，当前已选整数平方和为sumSqu
void DFS(int index,int nowK,int sum,int sumSqu){
  if(nowK == k && sum == x){  //找到k个数的和为x 
    if(sumSqu>maxSumSqu){ //如果比当前找到更优 
      maxSumSqu = sumSqu; //更新最大平方和 
      ans = temp; //更新最优方案 
    }
    return;
  }
  //已经处理完n个数，或者超过k个数，或者和超过x，返回
  if(index == n||nowK>k||sum>x)
    return ;
  //选index号数
  temp.push_back(A[index]);
  DFS(index,nowK+1,sum+A[index],sumSqu+A[index]*A[index]);
  temp.pop_back();
  //不选index号数
  DFS(index+1,nowK,sum,sumSqu); 
} 
 
int main(){
  scanf("%d%d%d",&n,&k,&x);
  for(int i=0;i<n;i++){
    scanf("%d",&A[i]);  
  }
  DFS(0,0,0,0);   
  for(vector<int>::iterator it = ans.begin();it!=ans.end();it++){
    printf("%d ",*it);
  } 
  return 0;
}

运行结果：

微信扫码关注李歘歘，获取更多的学习资料，联系作者：