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B树
树
二叉搜索树
B+树
扩展
为什么说B+树比B树更适合做操作系统的数据库索引和文件索引？
B树
B-tree树即B树，B即Balanced，平衡的意思。因为B树的原英文名称为B-tree，而国内很多人喜欢把B-tree译作B-树，其实，这是个非常不好的直译，很容易让人产生误解。如人们可能会以为B-树是一种树，而B树又是另一种树。而事实上是，B-tree就是指的B树。
所以首先： B树是平衡多叉树，（平衡）二叉树是B树的一种树，B+树 B树的一种变体，B*树又是B+树的一种变体。
红黑树：二叉搜索树的改进
B树：多叉搜索树的改进
树
二叉搜索树
先介绍下二叉搜索树
1.所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；
2.所有结点存储一个关键字；
3.非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；
( 左节点小于父节点，右节点大于父节点）
如：
二叉搜索树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；
否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左子树；如果比结点关键字大，就进入
右子树；如果左子树或右子树的指针为空，则报告找不到相应的关键字；
如果二叉搜索树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么二叉树
的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是：插入与删除结点不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；-----相对于数组和链表的优点
如：
但二叉搜索树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：
右边也是一个二叉搜索树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的
树结构索引；所以，使用二叉搜索树还要考虑尽可能让B树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就
是所谓的“平衡”问题；
实际使用的二叉搜索树都是在原二叉搜索树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持B树
结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在二叉搜索树中插入和删除结点的策略；
红黑树（二叉搜索树的改进）
B树（多叉搜索树的改进）
（B树是对二叉查找树的改进。它的设计思想是，将相关数据尽量集中在一起，以便一次读取多个数据，减少硬盘操作次数。B树为系统最优化大块数据的读和写操作。B树算法减少定位记录时所经历的中间过程，从而加快存取速度。普遍运用在数据库和文件系统https://www.e-learn.cn/content/qita/809639）
是一种多路搜索树（并不是二叉的）：
1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；
2.根结点的儿子数为[2, M]；
3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]（因为父节点是M，所以子节点最小必须为M/2才能平衡）；
4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）
5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；
6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
7.非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的
子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；
8.所有叶子结点位于同一层；
如：（M=3）
B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果
命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为
空，或已经是叶子结点；
B-树的特性：
1.关键字集合分布在整颗树中；
2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
3.搜索有可能在非叶子结点结束；
4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；
5.自动层次控制；
由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少
利用率，其最底搜索性能为：
其中，M为设定的非叶子结点最多子树个数，N为关键字总数；
所以B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题；
由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占
M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并；
B+树
（B+树可以说是B树的一种变形，它把数据都存储在叶结点，而内部结点只存关键字和孩子指针，因此简化了内部结点的分支因子，B+树遍历也更高效，其中B+树只需所有叶子节点串成链表这样就可以从头到尾遍历，其中内部结点是并不存储信息，而是存储叶子结点的最小值作为索引，下面将讲述到。）
B+树是B树的变体，也是一种多路搜索树：
1.其定义基本与B树同，除了：
2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
3.非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树
（B-树是开区间）；
5.为所有叶子结点增加一个链指针；
6.所有关键字都在叶子结点出现；
如：（M=3）
B+的搜索与B树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B树可以在
非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；
B+的特性：
1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好
是有序的；
2.不可能在非叶子结点命中；
3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储
（关键字）数据的数据层；
4.更适合文件索引系统；
四、B树与B+树的对比
B和B+树的区别在于，B+树的非叶子结点只包含导航信息，不包含实际的值，所有的叶子结点和相连的节点使用链表相连，便于区间查找和遍历。
1、B树的优点
1. B树的每一个节点都包含key和value，因此经常访问的元素可能离根节点更近，因此访问也更迅速。
2、B+树的优点
1. 由于B+树在内部节点上不好含数据信息，因此在内存页中能够存放更多的key。 数据存放的更加紧密，具有更好的空间局部性。因此访问叶子节点上关联的数据也具有更好的缓存命中率；2. B+树的叶子结点都是相链的，因此对整棵树的便利只需要一次线性遍历叶子结点即可。而且由于数据顺序排列并且相连，所以便于区间查找和搜索。而B树则需要进行每一层的递归遍历。相邻的元素可能在内存中不相邻，所以缓存命中性没有B+树好。
PS:实例 MySQL的引擎为INNODB。数据本身是用B-TREE来组织，数据本身即是庞大的根据主键聚簇的B-TREE索引。 所以在这点上，写入速度就会有些降低，因为要每次写入要用一次IO来做索引树的重排。特别是当数据量本身比内存大很多的情况下，CPU本身被磁盘IO纠缠的做不了其他事情了。
B*树
是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；
B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3
（代替B+树的1/2）；
B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据
复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父
结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；
B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分
数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字
（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之
间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；
所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；
小结
二叉搜索树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左节点，大于
走右节点；
B树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键
字范围的子结点；
所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；
B+树：在B树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点
中出现，非叶子结点作为叶子节点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；
B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率
从1/2提高到2/3；
扩展
为什么存储用B树而不是红黑树
学习任何一个东西我们都要知道为什么要有它，B树也一样，既然存储数据，我们为什么不用红黑树呢？
这个要从几个方面来说了：
（1）计算机有一个局部性原理，就是说，当一个数据被用到时，其附近的数据也通常会马上被使用。
（2）所以当你用红黑树的时候，你一次只能得到一个键值的信息，而用B树，可以得到最多M-1个键值的信息。这样来说B树当然更好了。
（3）另外一方面，同样的数据，红黑树的阶数更大，B树更短，这样查找的时候当然B树更具有优势了，效率也就越高。
（https://www.e-learn.cn/content/qita/809639）
为什么说B+树比B树更适合做操作系统的数据库索引和文件索引？
（1）B+树的磁盘读写的代价更低
B+树内部结点没有指向关键字具体信息的指针，这样内部结点相对B树更小。
（2）B+树的查询更加的稳定
因为非终端结点并不是最终指向文件内容的结点，仅仅是作为叶子结点中关键字的索引。这样所有的关键字的查找都会走一条从根结点到叶子结点的路径。所有的关键字查询长度都是相同的，查询效率相当。
有一道MySQL的面试题，为什么MySQL的索引要使用B+树而不是其它树形结构?比如B树？
现在这个问题的复杂版本可以参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/256954853；
他的简单版本回答是：
因为B树不管叶子节点还是非叶子节点，都会保存数据，这样导致在非叶子节点中能保存的指针数量变少（有些资料也称为扇出），指针少的情况下要保存大量数据，只能增加树的高度，导致IO操作变多，查询性能变低；
B树的操作图解和代码
以下是被引用比较多的文章，怕连接丢失故而转载过来：
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一、为什么要有B树？
学习任何一个东西我们都要知道为什么要有它，B树也一样，既然存储数据，我们为什么不用红黑树呢？
这个要从几个方面来说了：
（1）计算机有一个局部性原理，就是说，当一个数据被用到时，其附近的数据也通常会马上被使用。
（2）所以当你用红黑树的时候，你一次只能得到一个键值的信息，而用B树，可以得到最多M-1个键值的信息。这样来说B树当然更好了。
（3）另外一方面，同样的数据，红黑树的阶数更大，B树更短，这样查找的时候当然B树更具有优势了，效率也就越高。
二、B树
对于B树，我们首先要知道它的应用，B树大量应用在数据库和文件系统当中。
B树是对二叉查找树的改进。它的设计思想是，将相关数据尽量集中在一起，以便一次读取多个数据，减少硬盘操作次数。B树为系统最优化大块数据的读和写操作。B树算法减少定位记录时所经历的中间过程，从而加快存取速度。普遍运用在数据库和文件系统。
假定一个节点可以容纳100个值，那么3层的B树可以容纳100万个数据，如果换成二叉查找树，则需要20层！假定操作系统一次读取一个节点，并且根节点保留在内存中，那么B树在100万个数据中查找目标值，只需要读取两次硬盘。B 树可以看作是对2-3查找树的一种扩展，即他允许每个节点有M-1个子节点。
B树的结构：
1. 根节点至少有两个子节点 ；
2. 每个节点有M-1个key，并且以升序排列 ；
3. 位于M-1和M key的子节点的值位于M-1 和M key对应的Value之间 ；
4. 其它节点至少有M/2个子节点 ；
5. 所有叶子节点都在同一层 。
三、B+树
B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树，其定义基本与B树相同，除了：
1. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
2. 非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；
3. 为所有叶子结点增加一个链指针；
4. 所有关键字都在叶子结点出现。
四、B树与B+树的对比
B和B+树的区别在于，B+树的非叶子结点只包含导航信息，不包含实际的值，所有的叶子结点和相连的节点使用链表相连，便于区间查找和遍历。
1、B树的优点
1. B树的每一个节点都包含key和value，因此经常访问的元素可能离根节点更近，因此访问也更迅速。
2、B+树的优点
1. 由于B+树在内部节点上不好含数据信息，因此在内存页中能够存放更多的key。 数据存放的更加紧密，具有更好的空间局部性。因此访问叶子几点上关联的数据也具有更好的缓存命中率；
2. B+树的叶子结点都是相链的，因此对整棵树的便利只需要一次线性遍历叶子结点即可。而且由于数据顺序排列并且相连，所以便于区间查找和搜索。而B树则需要进行每一层的递归遍历。相邻的元素可能在内存中不相邻，所以缓存命中性没有B+树好。
3、应用
B树和B+树经常被用于数据库中，作为MySQL数据库索引。索引（Index）是帮助MySQL高效获取数据的数据结构。为了查询更加高效，所以采用B树作为数据库的索引。
