面试官问小灰：如何用程序判断质数？

质数（Prime number），又称素数，指在大于 的自然数中，除了 和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有 与该数本身两个正因数的数）。

如何快速判断某个数是否为质数？如何再给定区间内筛出所有的质数？

以上两个问题是大厂面试官常常喜欢考察的。本文采用多种思路，对以上两个问题进行简析。

本文所有的函数参数均默认为自然数。

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文章所涉及的代码使用C++语言，使用的缺省源如下：

# include <cstdio>
# include <ciso646>

namespace Main {
    namespace Source {
        typedef short unsigned int hu;
        typedef unsigned int uint;
        typedef long long unsigned int llu;
    }
    using namespace Source;
    static inline const void main() {}
}

signed int main() { Main::main(); return 0; }

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问题1：素数判断

判断一个非负整数 是否为质数。

解决方案 1.1

根据定义，可以写出如下代码：

static inline const bool isprime(const uint a) {
    if (a == 0 or a == 1) return false;
    for (register uint i(2); i < a; ++i) if (not(a % i)) return false;
return true;
}

解决方案 1.2

考虑优化。

我们观察一下一个合数 会被哪个数筛掉。可列出下表（记为表 1）：

	筛掉C的数
4	2
6	2
8	2
9	3
10	2
12	2
14	2
15	3
16	2
18	2
20	2
21	3
22	2
24	2
25	5
26	2

核心代码：

static inline const uint mpf(const uint c) {
    for (register uint i(2); i < c; ++i) if (not(c % i)) return i;
return 0;
}

static inline const bool isprime(const llu a) {
    if (a == 0 or a == 1) return false;
    for (register uint i(2); 1ull * i * i <= a; ++i) if (not(a % i)) return false;
return true;
}

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问题2：区间内筛选素数

解决方案 2.1

可以通过上面 1.2 中的代码判断每个数是否是质数。

static inline const bool isprime(const llu a) {...}
enum { N = 1u << 20 };
static uint n;
static bool isp[N];
static uint prime[N], cp;
static inline const void main() {
    scanf("%u", &n);
    for (register uint i(0); i < n; ++i) if (isp[i] = isprime(i)) prime[cp++] = i;
for (register uint i(0); i < cp; ++i) printf("%u\n", prime[i]);
}

解决方案 2.2

观察表 1，我们发现，筛掉合数的数总是质数。

于是我们猜想：一个合数 的最小非 因数为质数。

于是可以优化一下 ​​isprime​​ 函数。

enum { N = 1 << 24 };
static uint n;
static bool isp[N];
static uint prime[N], cp;
static inline const bool isprime(const llu a) {
    if (a == 0 or a == 1) return false;
    for (register uint i(0); i < cp and 1ull * prime[i] * prime[i] <= a; ++i)
        if (not(a % prime[i])) return false;
    return true;
}
static inline const void main() {
    scanf("%u", &n);
    for (register uint i(0); i < n; ++i) if (isp[i] = isprime(i)) prime[cp++] = i;
for (register uint i(0); i < cp; ++i) printf("%u\n", prime[i]);
}

时间复杂度 （由素数定理 中素数密度约为 ），空间复杂度 ， 内约可以解决 的问题。

图中的曲线分别表示质数数量 pi(n)（蓝）、n / ln n（绿）与 Li(n)（红）。

解决方案 2.3

既然可以用质数判断一个数是否为合数，那为什么不直接用质数筛出合数呢？这样可以减少很多不必要的计算吧。

容易想到，我们从 开始枚举，用 ​​isp[i]​​ 表示 之前有没有被筛过，若枚举到一个数未被筛过，则其为质数，用之筛去后面的合数。

enum { N = (const uint)4e7 };
static uint n;
static bool isp[N];
static uint prime[N], cp;
static inline const void main() {
    scanf("%u", &n);
    for (register uint i(0); i < n; ++i) isp[i] = true; isp[1] = isp[0] = false;
for (register uint i(0); i < n; ++i) {
        if (isp[i]) {
            prime[cp++] = i;
            for (register uint j(i); j < n; j += i) isp[j] = false;
}
}
for (register uint i(0); i < cp; ++i) printf("%u\n", prime[i]);
}

解决方案 2.4

于是可以写出如下代码：

enum { N = (const uint)2e8 };
static uint n;
static bool isp[N];
static uint prime[N], cp;
static inline const void main() {
    scanf("%u", &n);
    for (register uint i(0); i < n; ++i) isp[i] = true; isp[1] = isp[0] = false;
for (register uint i(2); i < n; ++i) {
        if (isp[i]) prime[cp++] = i;
        for (register uint j(0); j < cp and 1ull * i * prime[j] < n; ++j) {
            isp[i * prime[j]] = false;
            if (not(i % prime[j])) break;
            // 注意到这里枚举到了首个满足 i mod prime[j] = 0 的 j，不能简单地将判断移至 for 语句中。
        }
    }
    for (register uint i(0); i < cp; ++i) printf("%u\n", prime[i]);
}