面试中，问得比较多的几个问题之一，求斐波那契数列f(n)？ 画外音：姐妹篇 《拜托，面试别再问我TopK了！！！》 《拜托，面试别再让我数1了！！！》

什么是斐波那契数列？

斐波那契数列是这样一个数列，它满足：

f(0) = 0; f(1) = 1; f(n) = f(n-1) + f(n-2) (当n>=2时)

到底有几种方法，这些思路里蕴含的优化思路究竟是怎么样的，今天和大家聊一聊。

一、递归法

伪代码：

uint32_t f(uint32_t n){
    if(n==0) return 0;
    if(n==1) return 1;
    return f(n-1)+f(n-2);
}

思路：这是一个递归的代码，非常清晰，直接把斐波那契数列的定义翻译成了代码。

例如：

假设要求f(5)
f(5) = f(4) + f(3);
于是会递归计算f(4)和f(3);

接着要求f(4)
f(4) = f(3)+ f(2);
于是会递归计算f(3)和f(2);

可以看到，计算f(5)和f(4)中都要计算f(3)，但这两次f(3)会重复计算，这就是递归的最大问题，对于同一个f(a)，不能复用。

计算一个f(n)到底需要有多少次递归调用呢？ 我们可以在代码里加一个计数验证一下。

伪代码：

static uint32_t count=0; // 加一个全局变量计数
 
uint32_t f(uint32_t n){
    count++;  // 递归一次，计数加一
    if(n==0) return 0;
    if(n==1) return 1;
    return f(n-1)+f(n-2);
}

实验的结果：

f(5) count = 15
f(10) count = 177
f(15) count = 1K+
f(20) count = 2W+
f(25) count = 24W+
f(30) count = 269W+
f(35) count = 2986W+
f(40) count = 3.3Y+
f(45) … 抱歉，我机器太慢，算不出来

额滴神哪，不是骗我吧！！！

画外音： （1）这个count，是函数递归了对少次； （2）f(45)，机器居然算不出来； （3）对结论有疑问的，自己可以run一把；

启示： （1）斐波那契数列求解，如果用直接法，时间复杂度是指数级的，不可行； （2）如果没有太大的把握，工程中尽量少使用递归，容易把自己玩死；

二、正推法

从斐波那契数列的定义： f(0) = 0; f(1) = 1; f(n) = f(n-1) + f(n-2) n>=2时

可以看出，每一个新的f(n)，是前两个旧的f(n-1)和f(n-2)之和，一路递归下去，最终都将递归到f(0)和f(1)上来。

反过来想，我们不倒着f(n),f(n-1),f(n-2)这么计算，而是f(0),f(1),f(2)…f(n)这么正向计算，岂不是更快么？

伪代码：

uint32_t f(uint32_t n){
   uint32_t arr[n];
   arr[0]=0;
   arr[1]=1;
   for(uint32_t i=2;i<=n;i++){
       arr[i]=arr[i-1]+arr[i-2];
    }
   return arr[n];
}

这么正向的计算，只需要一个for循环，就能够计算出f(n)的值，时间复杂度是O(n)。

三、通项公式法

f(0) = 0; f(1) = 1; f(n) = f(n-1) + f(n-2) (当n>=2时) 大学学过相关课程，可解出f(n)通项公式。 画外音：额，是不是有朋友读了个假大学。

线性递推数列： f(n) = f(n-1) + f(n-2) 对应的特征方程是： x^2 = x + 1

求解特征方程得到： x1=(1+√5)/2 x2=(1-√5)/2

于是得到： f(n) = a1(x1)^n + a2(x2)^n

将： f(0) = 0; f(1) = 1; 代入上述通项公式。

于是得到： a1=1/√5 a2=-1/√5

于是最终得到： f(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n -[(1-√5)/2]^n} 画外音：别问我为什么懂这些，我TM作为计算机信息安全专业，也被数论，有限域，加密解密这些数学学科折磨过。

可忽略上述吹牛*的过程，百度一下能得到答案。 总之，得到了斐波那契数列通项公式： f(n) = a1(b1)^n + a2(b2)^n 其中a1, b1, a2, b2四个数字都是常数。

想求f(45)，把n=45带入上述通项公式即可。

那么，带入通项公式求解，时间复杂度是多少呢？是O(1)么？

通项公式的计算，并不能O(1)得到，而是一个a^n，即power(a, n)的求解过程。

那么，如何求解a的n次方呢？

最粗暴的方法，将a不断的自乘n次。

伪代码：

uint64_t power(uint64_t a, uint64_t n){
   uint64_t result=a;
   for(uint64_t i=1;i<n;i++){
       result *=a;
    }
   return result;
}

很容易知道，a通过for循环不断自乘，求解a^n的时间复杂度是O(n)。

你TM在逗我！！！

通过“正推”法，求解f(n)的时间复杂度是O(n)。 楼主搞了这么久的奇技淫巧，搞什么“通项公式法”，结果也是个O(n)的方法？？？

不不不，稍安勿躁，上面讲的都是思路，求解a^n，可以使用之前文章里说过的减治法。

还记得分治法与减治法的区别么？

  • 减治法，大问题分解为小问题，小问题只要递归一个分支，例如：二分查找，随机选择
  • 分治法。大问题分解为小问题，小问题都要迭代各个分支，例如：快速排序 具体在《拜托，面试别再问我TopK了！！！》里，讲随机选择时详细介绍过。

a^n减治法思路：

  • 当n是偶数时，先求出r=a^(n/2)，再做一次r*r的计算，就得到了a^n
  • 当n是奇数时，n-1就一定是偶数，先求出r=a^(n-1)/2，在做一次rra，就得到了a^n

伪代码：

uint64_t power(uint64_t a, uint64_t n){
    if(n==0)return 1;
    if(n==1)return a;
 
   uint64_t r=0;
   if(n%2){
       r=power(a, (n-1)/2);
       return r*r*a;
    }
   else{
       r=power(a, n/2);
       return r*r;
    }
}

每次将计算规模减半，是不是和二分查找很像？减治法求a^n的时间复杂度是O(lg(n))。

四、查表法

通过之前几篇算法文章的套路，大家应该猜得到，一到结尾，空间换时间的方法就出场了，如果有相对充裕的内存，可以有更快的算法。

思路：f(n)，一旦n的值确定，f(n)也就确定，可以提前计算好结果数组： result[0]=0; result[1]=1; result[2]=1; result[3]=2; result[4]=3; …

求f(n)时直接打表即可，伪代码： return result[n];

打表的时间复杂度是O(1)。 画外音：但每期都讲打表，太没有意思了。

五、总结

斐波那契数列，不难； 但其思路有优化过程，并不简单：

  • 递归法，f(45)能跑得死机
  • 正推法，O(n)，正推计算，有点意思
  • 通项公式，本质转化为求a^n
  • 减治法求a^n，O(lg(n))
  • 打表法，O(1)，空间换时间 画外音：注意，面试现场求解通项公式，有可能会吓到面试官，请慎用。

知其然，知其所以然。

思路比结论重要。 希望大家对“斐波那契数列”有新的认识，谢转。 架构师之路-分享可落地的架构文章

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