内排序（六）——堆积排序

基本概念

堆积的定义（两种形式）：

称满足条件(1)的堆积为大顶堆积，称满足条件(2)的堆积为小顶堆积，本文使用大顶堆积。2、堆积是一棵完全二叉树，二叉树中任何一个分支结点的值都大于或者等于它的孩子结点的值，并且每一棵子树也满足堆积的特性，如下图：

堆积有如下特点：序列的第一个元素或者二叉树的根结点的值最大。

核心思想和步骤

堆积排序的核心思想如下：
第 i 趟排序将序列的前 n-i+1 个元素组成的子序列 为一个堆积，然后将堆积的第一
个元素与堆积的最后那个元素交换位置。

堆积排序的步骤如下：
1、将原始序列转换为第一个堆积。（建初始堆积）；
2、将堆积的第一个元素与堆积的最后那个元素交换位置(即去掉最大值元素）；
3、将“去掉”最大值元素后剩下的元素组成的子序列重新转换一个新的堆积；
4、重复上述过程的第2至第3步n-1次；

堆积排序的完整过程如下图所示：

堆积排序的过程中有一个非常重要的步骤就是将一个序列转换成堆，这个该如何完成呢？

我们知道，堆（二叉堆）可以视为一棵完全二叉树，完全二叉树的一个“优秀”的性质是，除了最底层之外，每一层都是满的，这使得堆可以利用数组来表示，每一个结点对应数组中的一个元素，同时对于i个元素，它的左右子节点在下标以0开始的数组中的位置分别为：2*i+1、2*i+2；

建堆的核心内容是调整堆，使二叉树满足堆的定义（每个节点的值都不大于其父节点的值）。调堆的过程应该从最后一个非叶子节点开始，假设有数组A = {1, 3, 4, 5, 7, 2, 6, 8, 0}。那么调堆的过程如下图，数组下标从0开始，A[3] = 5开始，分别对5,4,3,1进行调整。分别与左孩子和右孩子比较大小，如果A[3]最大，则不用调整，否则和孩子中的值最大的一个交换位置，在图1中是A[7] > A[3] > A[8]，所以A[3]与A[7]对换，从图1.1转到图1.2。

堆排序的动态图如下：

算法实现

调整堆子算法的C语言实现如下：

void ADJUST(keytype K[ ],int i,int n)
{
    int j;
    keytype temp;
    temp=K[i];
    j=2*i;
    while(j<=n){
        if(j<n && K[j]<K[j+1])
            j++;
        if(temp>=K[j])
            break;
        K[j/2]=K[j];
        j=2*j;
    }
    K[j/2]=temp;
}

该子算法的功能是将以编号为 i 的结点作为根的子树调整为一个堆积；
其中，
K ：序列；
i ：被调整的二叉树的根的序号；
n ：被调整的二叉树的结点数目。

堆积排序的完整算法的C语言实现如下：

void HEAPSORT(keytype K[ ],int n)
{
    int i,
    keytype temp;
    for(i=n/2;i>=1;i– –)     //建立初始堆积
        ADJUST(K,i,n);
    for(i=n–1;i>=1;i– –){    //具体排序，共n-1趟
        temp=K[i+1];
        K[i+1]=K[1];
        K[1]=temp;
        ADJUST(K,1,i);
    }
}

算法分析

堆积排序的时间复杂度为O(nlog2n)；

本文部分参考自：​​堆排序算法详解​​