Python 教程之 Numpy（10）—— 线性代数
原创
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NumPy 的线性代数模块提供了多种方法来在任何 numpy 数组上应用线性代数。
可以找到：
- 数组的秩、行列式、跟踪等。
- 矩阵的特征值
- 矩阵和向量积（点积、内积、外积等）、矩阵求幂
- 求解线性或张量方程等等！
# 将 numpy 导入为 np
import numpy as np
A = np.array([[6, 1, 1],
[4, -2, 5],
[2, 8, 7]])
# 矩阵的秩
print("Rank of A:", np.linalg.matrix_rank(A))
# 矩阵 A 的迹
print("\nTrace of A:", np.trace(A))
# 矩阵的行列式
print("\nDeterminant of A:", np.linalg.det(A))
# 矩阵 A 的逆
print("\nInverse of A:\n", np.linalg.inv(A))
print("\nMatrix A raised to power 3:\n",
np.linalg.matrix_power(A, 3))
输出：
Rank of A: 3
Trace of A: 11
Determinant of A: -306.0
Inverse of A:
[[ 0.17647059 -0.00326797 -0.02287582]
[ 0.05882353 -0.13071895 0.08496732]
[-0.11764706 0.1503268 0.05228758]]
Matrix A raised to power 3:
[[336 162 228]
[406 162 469]
[698 702 905]]
矩阵特征值函数
numpy.linalg.eigh(a, UPLO='L') ：此函数用于返回复数 Hermitian（共轭对称）或实对称矩阵的特征值和特征向量。返回两个对象，一个包含a 的特征值，以及相应特征向量（以列为单位）的二维方阵或矩阵（取决于输入类型）。
# 解释 eigh() 函数的 Python 程序
from numpy import linalg as geek
# 使用数组函数创建数组
a = np.array([[1, -2j], [2j, 5]])
print("Array is :",a)
# 使用 with() 函数计算特征值
c, d = geek.eigh(a)
print("Eigen value is :", c)
print("Eigen value is :", d)
输出 ：
Array is : [[ 1.+0.j, 0.-2.j],
[ 0.+2.j, 5.+0.j]]
Eigen value is : [ 0.17157288, 5.82842712]
Eigen value is : [[-0.92387953+0.j , -0.38268343+0.j ],
[ 0.00000000+0.38268343j, 0.00000000-0.92387953j]]
numpy.linalg.eig(a) ：该函数用于计算方阵的特征值和右特征向量。
# 解释 eig() 函数的 Python 程序
from numpy import linalg as geek
# 使用 diag 函数创建数组
a = np.diag((1, 2, 3))
print("Array is :",a)
# 使用 eig() 函数计算特征值
c, d = geek.eig(a)
print("Eigen value is :",c)
print("Eigen value is :",d)
在 IDE 上运行
输出 ：
Array is : [[1 0 0],
[0 2 0],
[0 0 3]]
Eigen value is : [ 1 2 3]
Eigen value is : [[ 1 0 0],
[ 0 1 0],
[ 0 0 1]]
功能
| 描述
|
linalg.eigvals() | 计算一般矩阵的特征值。
|
linalg.eigvalsh(a[, UPLO]) | 计算复数 Hermitian 或实对称矩阵的特征值。
|
矩阵和向量积
numpy.dot(vector_a, vector_b, out = None)： 返回向量 a 和 b 的点积。它可以处理二维数组，但将它们视为矩阵并将执行矩阵乘法。对于 N 维，它是 a 的最后一个轴和 b 的倒数第二个轴的和积：
dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])
代码#1：
# 说明 numpy.dot() 方法的 Python 程序
import numpy as geek
# Scalars
product = geek.dot(5, 4)
print("Dot Product of scalar values : ", product)
# 1D array
vector_a = 2 + 3j
vector_b = 4 + 5j
product = geek.dot(vector_a, vector_b)
print("Dot Product : ", product)
在 IDE 上运行
输出：
Dot Product of scalar values : 20
Dot Product : (-7+22j)
代码 #1 是如何工作的？
vector_a = 2 + 3j
vector_b = 4 + 5j
now dot product
= 2(4 + 5j) + 3j(4 - 5j)
= 8 + 10j + 12j - 15
= -7 + 22j
numpy.vdot(vector_a, vector_b)： 返回向量 a 和 b 的点积。如果第一个参数是复数，则第一个参数的复共轭（这是vdot()工作不同的dot()）用于计算点积。它可以处理多维数组，但可以将其作为扁平数组处理。
代码#1：
# 说明 numpy.vdot() 方法的 Python 程序
import numpy as geek
# 1D array
vector_a = 2 + 3j
vector_b = 4 + 5j
product = geek.vdot(vector_a, vector_b)
print("Dot Product : ", product)
在 IDE 上运行
输出 ：
代码 #1 是如何工作的？
vector_a = 2 + 3j
vector_b = 4 + 5j
As per method, take conjugate of vector_a i.e. 2 - 3j
now dot product = 2(4 - 5j) + 3j(4 - 5j)
= 8 - 10j + 12j + 15
= 23 - 2j
功能
| 描述
|
matmul() | 两个数组的矩阵乘积。
|
内（） | 两个数组的内积。
|
外（） | 计算两个向量的外积。
|
linalg.multi_dot() | 在单个函数调用中计算两个或多个数组的点积，同时自动选择最快的评估顺序。
|
张量点（） | 计算数组 >= 1-D 沿指定轴的张量点积。
|
einsum() | 评估操作数上的 Einstein 求和约定。
|
einsum_path() | 通过考虑中间数组的创建来评估 einsum 表达式的最低成本收缩顺序。
|
linalg.matrix_power() | 将方阵提高到（整数）次幂 n。
|
克朗（） | 两个数组的克罗内克积。
|
求解方程和求逆矩阵
numpy.linalg.solve() ：求解一个线性矩阵方程，或线性标量方程组。计算完全确定的，即满秩的线性矩阵方程 ax = b 的“精确”解 x。
# 说明 numpy.linalg.solve() 方法的 Python 程序
import numpy as np
# 使用数组函数创建数组
a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
# 使用数组函数创建数组
b = np.array([8, 18])
print(("Solution of linear equations:",
np.linalg.solve(a, b)))
输出：
Solution of linear equations: [ 2. 3.]
numpy.linalg.lstsq() ：返回线性矩阵方程的最小二乘解。通过计算最小化欧几里得 2 范数 ||的向量 x 求解方程 ax = b b – 斧头 ||^2。该等式可以是欠定的、良好的或过定的（即，a 的线性独立行的数量可以小于、等于或大于其线性独立的列的数量）。如果 a 是平方且满秩，则 x（除了舍入误差）是方程的“精确”解。
# 说明 numpy.linalg.lstsq() 方法的 Python 程序
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# x co-ordinates
x = np.arange(0, 9)
A = np.array([x, np.ones(9)])
# 线性生成的序列
y = [19, 20, 20.5, 21.5, 22, 23, 23, 25.5, 24]
# obtaining the parameters of regression line
w = np.linalg.lstsq(A.T, y)[0]
# 绘制线
line = w[0]*x + w[1] # regression line
plt.plot(x, line, 'r-')
plt.plot(x, y, 'o')
plt.show()
在 IDE 上运行
输出：
功能
| 描述
|
numpy.linalg.tensorsolve() | 求解 x 的张量方程 ax = b。
|
numpy.linalg.inv() | 计算矩阵的（乘法）逆。
|
numpy.linalg.pinv() | 计算矩阵的 (Moore-Penrose) 伪逆。
|
numpy.linalg.tensorinv() | 计算 N 维数组的“逆”。
|
特殊功能
numpy.linalg.det() ：计算数组的行列式。
# 说明 numpy.linalg.det() 方法的 Python 程序
import numpy as np
# 使用数组方法创建数组
A = np.array([[6, 1, 1],
[4, -2, 5],
[2, 8, 7]])
print(("\nDeterminant of A:"
在 IDE 上运行
输出：
numpy.trace() ：返回数组沿对角线的总和。如果 a 是二维的，则返回沿其对角线与给定偏移量的总和，即所有元素的总和 a[i,i+offset] i.如果 a 有两个以上的维度，则由 axis1 和 axis2 指定的轴用于确定返回其轨迹的二维子数组。结果数组的形状与移除了axis1和axis2的a的形状相同。
# 说明 numpy.trace()() 方法的 Python 程序
import numpy as np
# 使用数组方法创建数组
A = np.array([[6, 1, 1],
[4, -2, 5],
[2, 8, 7]])
print("\nTrace of A:", np.trace(A))
在 IDE 上运行
输出：
功能
| 描述
|
numpy.linalg.norm() | 矩阵或向量范数。
|
numpy.linalg.cond() | 计算矩阵的条件数。
|
numpy.linalg.matrix_rank() | 使用 SVD 方法返回数组的矩阵秩
|
numpy.linalg.cholesky() | Cholesky 分解。
|
numpy.linalg.qr() | 计算矩阵的 qr 分解。
|
numpy.linalg.svd() | 奇异值分解。
|
