数据结构——树的概述

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愤怒的可乐 2022-07-13 17:12:18 ©著作权

文章标签 树的概述二叉树 B树红黑树二叉搜索树 文章分类 数据结构与算法人工智能

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引言

对于大量的输入数据，链表的线性访问时间太慢，不宜使用。本篇讨论一种简单的数据结构——树，它大部分操作的运行时间平均为 $数据结构——树的概述_树的概述$ 。数据结构中有很多树的结构，其中包括二叉树、二叉搜索树、2-3树、红黑树等等。

树和森林的区别

基本概念

树(tree) 是一些节点的集合。

该集合可以是空集，若不是空集，则树由称为根(root) r 的节点以及0个或多个非空的子树组成。

每颗子树的根就做根r的儿子(child)，而r是每颗子树的根的父亲。

数据结构——树的概述_二叉树_03

上图中，A是根，节点F有一个父亲A并且有儿子K、L和M。每个节点可以有零个或任意个儿子。没有儿子的节点称为叶子节点(leaf)。

上图中的B、C、H等是叶子节点。

具有相同父亲的节点称为兄弟(siblings)，因此B、C、D、E、F、G都是兄弟。这种定义和家谱很像，类似地，我们可以得到祖父和孙子的定义。J是A的孙子，A是I的祖父。

从节点 $数据结构——树的概述_B树_04$ 到 $数据结构——树的概述_树的概述_05$ 的**路径(path)**定义为节点 $数据结构——树的概述_二叉树_06$ 的一个序列。

这条路径的 长(length) 是为该路径上的边的条数，即 $数据结构——树的概述_二叉搜索树_07$ 。

从每一个节点到它自己有一条长为0的路径。注意，在一颗树中从根到每个节点恰好存在一条路径。

对任意节点 $数据结构——树的概述_二叉树_08$ 的 深度(depth) 为从根到 $数据结构——树的概述_二叉树_08$ 的唯一的路径的长。因此，根的深度为0。

$数据结构——树的概述_二叉树_08$ 的 高(height) 是从 $数据结构——树的概述_二叉树_08$ 到叶子节点的最长路径的长。因此所有的叶子节点(树叶)高都是0.
一棵树的高等于它的根的高。

对于上文中那颗树，E的深度为1(A-E)而高为2(E-J-Q)。该树的高为3。一棵树的深度等于它的最深的树叶的深度；该深度总是等于这棵树的高。

树这种数据结构有广泛的应用，比如操作系统中用到了红黑树，数据库用到了B+树，编译器用到了语法树。下面用Java来实现各种常见的树。

二叉树

数据结构——树的概述_二叉树_12

二叉树(binary tree) 是一颗每个节点都不能多于两个孩子(儿子)的树。通常叫它的儿子为左孩子和右孩子（或左子树和右子树）。

二叉树的性质 ：

在非空二叉树中，第i层的节点总数不超过 $数据结构——树的概述_二叉搜索树_13$ ,i>=1
深度为h的二叉树最多有 $数据结构——树的概述_二叉搜索树_14$ 个节点
对于任何一颗二叉树，如果其叶子节点数位 $数据结构——树的概述_二叉搜索树_15$ ，度为2(同时有两个孩子节点)的节点数为 $数据结构——树的概述_二叉树_16$ ，则 $数据结构——树的概述_二叉搜索树_17$
具有n个节点的完全二叉树的深度为 $数据结构——树的概述_树的概述_18$
给定n个节点，能构成h(n)种不同的二叉树，其中h(n)为卡特兰数的第n项， $数据结构——树的概述_B树_19$

数据结构——树的概述_红黑树_20

满二叉树：除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有节点都有两个子节点。

满二叉树的性质：

一颗树深度为h，最大层数为k，深度与最大层数相同，k=h
叶子数为 $数据结构——树的概述_B树_21$
第k层的节点数是： $数据结构——树的概述_二叉树_22$
总节点数是： $数据结构——树的概述_红黑树_23$ ，且总节点数一定是奇数

完全二叉树：若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～(h-1)层) 的节点数都达到最大个数，第h层所有的节点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

我们定义通用二叉树接口：

public interface BinaryTree<E> {
    void insert(E x);

    void remove(E x);

    boolean contains(E x);

    boolean isEmpty();

    void makeEmpty();

    void printTree();
}