题目描述
这是 LeetCode 上的 473. 火柴拼正方形 ，难度为 中等。
Tag : 「剪枝」、「DFS」、「爆搜」、「模拟退火」、「启发式搜索」
你将得到一个整数数组 matchsticks，其中 是第
i 个火柴棒的长度。你要用 所有的火柴棍 拼成一个正方形。
你 不能折断 任何一根火柴棒，但你可以把它们连在一起，而且每根火柴棒必须 使用一次 。
如果你能使这个正方形，则返回 true，否则返回 false。
示例 1:
输入: matchsticks = [1,1,2,2,2]
输出: true
解释: 能拼成一个边长为2的正方形，每边两根火柴。
示例 2:
输入: matchsticks = [3,3,3,3,4]
输出: false
解释: 不能用所有火柴拼成一个正方形。
提示:
祝大家儿童节快乐，永葆童心，一直善良 ???? ~
DFS 剪枝
为了方便，我们称 matchsticks 为 ms。
数据范围为 ，朴素的
DFS 爆搜（搜索过程中维护一个大小为 的数组
cur，数组中的每一位代表正方形一条边长所使用到的火柴总长度，若最终数组中每一位均等于 ，代表存在合法方案）复杂度为
，会
TLE。
我们考虑如何进行「剪枝」。
首先一个较为明显的剪枝操作是进行「可行性剪枝」：我们在决策 时，如果将其累加到某个
之后，会导致
，则说明必然不会是合法方案，该分支不再往后搜索。
另外一个较为 trick 的剪枝是通过调整搜索顺序来进行「重复性剪枝」：我们可以先对 ms 排倒序，进行「从大到小」的爆搜。本质上，我们是将一些小火柴重复放到某几个桶的搜索路径（其实对应的是相同的分配方案），放到了最后处理。
代码：
class Solution {
int[] ms;
int t;
public boolean makesquare(int[] _ms) {
ms = _ms;
int sum = 0;
for (int i : ms) sum += i;
t = sum / 4;
if (t * 4 != sum) return false;
Arrays.sort(ms);
return dfs(ms.length - 1, new int[4]);
}
boolean dfs(int idx, int[] cur) {
if (idx == -1) {
boolean ok = true;
for (int i : cur) {
if (i != t) ok = false;
}
return ok;
}
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int u = ms[idx];
if (cur[i] + u > t) continue;
cur[i] += u;
if (dfs(idx - 1, cur)) return true;
cur[i] -= u;
}
return false;
}
}- 时间复杂度：
- 空间复杂度：排序的复杂度为
，忽略递归带来的额外空间开销，复杂度为
模拟退火
事实上，这道题还能使用「模拟退火」进行求解。
因为将 个数划分为
份，等效于用
个数构造出一个「特定排列」，然后对「特定排列」进行固定模式的构造逻辑，就能实现「答案」与「最优排列」的对应关系。
基于此，我们可以使用「模拟退火」进行求解。
单次迭代的基本流程：
- 随机选择两个下标，计算「交换下标元素前对应序列的得分」&「交换下标元素后对应序列的得分」
- 如果温度下降（交换后的序列更优），进入下一次迭代
- 如果温度上升（交换前的序列更优），以「一定的概率」恢复现场（再交换回来）
值得一提的是，这道题造数据的人十分有水平，在最后一个样例中放了个卡 SA 的数据：
[403,636,824,973,815,318,881,506,863,21,834,211,316,772,803]
但我不知道为什么 LC 的提交结果会这么奇怪，已通过 184/183 样例？是总样例数哪个地方更新漏了，还是缓存没刷新：
这个数据点优秀在于起始排序可以导致我们固定的 calc 逻辑最终落入局部最优。针对这种情况，也很好解决，只需要在执行 SA 之前，先对原数组进行一次随机化打乱即可。
代码（2022/06/01 可通过）：
class Solution {
int ms[];
int n, k;
Random random = new Random(20220601);
boolean ans = false;
double hi = 1e4, lo = 1e-4, fa = 0.98;
int N = 400;
int calc() {
int diff = 0;
for (int i = 0, j = 0; i < 4; i++) {
int cnt = 0;
while (j < n && cnt < k) cnt += ms[j++];
diff += Math.abs(cnt - k);
}
if (diff == 0) ans = true;
return diff;
}
void sa() {
for (double t = hi; t > lo && !ans; t *= fa) {
int a = random.nextInt(n), b = random.nextInt(n);
int prev = calc();
swap(ms, a, b);
int cur = calc();
int diff = prev - cur;
if (Math.log(diff / t) > random.nextDouble()) swap(ms, a, b);
}
}
public boolean makesquare(int[] _ms) {
ms = _ms;
n = ms.length;
int sum = 0;
for (int i : ms) sum += i;
k = sum / 4;
if (k * 4 != sum) return false;
shuffle(ms);
while (N-- > 0) sa();
return ans;
}
void shuffle(int[] arr) {
int n = arr.length;
for (int i = n; i > 0; i--) {
int idx = random.nextInt(i);
swap(arr, idx, i - 1);
}
}
void swap(int[] arr, int i, int j) {
int c = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = c;
}
}我猜你问
Q0. 模拟退火有何风险？
随机算法，会面临 WA 和 TLE 风险。
Q1. 模拟退火中的参数如何敲定的？
根据经验猜的，然后提交。根据结果是 WA 还是 TLE 来决定之后的调参方向。如果是 WA 说明部分数据落到了「局部最优」或者尚未达到「全局最优」。
Q2. 参数如何调整？
如果是 WA 了，一般我是优先调大 fa 参数，使降温变慢，来变相增加迭代次数；如果是 TLE 了，一般是优先调小 fa 参数，使降温变快，减小迭代次数。总迭代参数 N 也是同理。
可以简单理解调大 fa 代表将「大步」改为「baby step」，防止越过全局最优，同时增加总执行步数。
Q3. 关于「模拟退火」正确性？
随机种子不变，测试数据不变，迭代参数不变，那么退火的过程就是恒定的，必然都能找到这些测试样例的「全局最优」。
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.472 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
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