【刷穿 LeetCode】881. 救生艇 : 归纳法证明贪心解为最优解之一

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宫水三叶 2022-05-20 14:22:20 ©著作权

文章标签 LeetCode 算法元组最优解复杂度 文章分类 后端开发

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题目描述

这是 LeetCode 上的 881. 救生艇 ，难度为中等。

Tag : 「贪心」、「双指针」

第 i 个人的体重为 people[i]，每艘船可以承载的最大重量为 limit。

每艘船最多可同时载两人，但条件是这些人的重量之和最多为 limit。

返回载到每一个人所需的最小船数。(保证每个人都能被船载)。

示例 1：

输入：people = [1,2], limit = 3

输出：1

解释：1 艘船载 (1, 2)

示例 2：

输入：people = [3,2,2,1], limit = 3

输出：3

解释：3 艘船分别载 (1, 2), (2) 和 (3)

示例 3：

输入：people = [3,5,3,4], limit = 5

输出：4

解释：4 艘船分别载 (3), (3), (4), (5)

提示：

1 <= people.length <= 50000
1 <= people[i] <= limit <= 30000

贪心

一个直观的想法是：由于一个船要么载两人要么载一人，在人数给定的情况下，为了让使用的总船数最小，要当尽可能让更多船载两人，即尽可能多的构造出数量之和不超过的二元组。

先对进行排序，然后使用两个指针 l 和 r 分别从首尾开始进行匹配：

如果，说明两者可以同船，此时船的数量加一，两个指针分别往中间靠拢；
如果，说明不能成组，由于题目确保人的重量不会超过，此时让独立成船，船的数量加一，r 指针左移。

我们猜想这样「最重匹配最轻、次重匹配次轻」的做法能使双人船的重量之和尽可能平均，从而使双人船的数量最大化。

接下来，我们使用「归纳法」证明猜想的正确性。

假设最优成船组合中二元组的数量为，我们贪心做法的二元组数量为。

最终答案 = 符合条件的二元组的数量 + 剩余人数数量，而在符合条件的二元组数量固定的情况下，剩余人数也固定。因此我们只需要证明即可。

通常使用「归纳法」进行证明，都会先从边界入手。

当我们处理最重的人（此时为原始右边界）时：

假设其与（此时为原始左边界）之和超过，说明与数组任一成员组合都会超过，即无论在最优组合还是贪心组合中，都会独立成船；
假设，说明数组中存在至少一个成员能够与成船：

假设在最优组合中独立成船，此时如果将贪心组合中的拆分出来独立成船，贪心二元组数量必然不会变大（可能还会变差），即将「贪心解」调整成「最优解」结果不会变好；
假设在最优组合中，不是独立成船，又因此当前处于原始右边界，因此与成组的成员必然满足。此时我们将和位置进行交换（将贪心组合调整成最优组合），此时带来的影响包括：

与成组的对象从变为，但因为，即有，仍为合法二元组，消耗船的数量为；
原本位置的值从变大为，如果调整后的值能组成二元组，那么原本更小的值也能组成二元组，结果没有变化；如果调整后不能成为组成二元组，那么结果可能会因此变差。

综上，将和位置进行交换（将贪心组合调整成最优组合），贪心二元组数量不会变大，即将「贪心解」调整成「最优解」结果不会变好。

对于边界情况，我们证明了从「贪心解」调整为「最优解」不会使得结果更好，因此可以保留当前的贪心决策，然后将问题规模缩减为或者，同时数列仍然满足升序特性，即归纳分析所依赖的结构没有发生改变，可以将上述的推理分析推广到每一个决策的回合（新边界）中。

至此，我们证明了「贪心组合所得的总船数」不会比「最优组合所得总船数」更多，即贪心解是最优解之一。

代码：

class Solution {
    public int numRescueBoats(int[] people, int limit) {
        Arrays.sort(people);
        int n = people.length;
        int l = 0, r = n - 1;
        int ans = 0;
        while (l <= r) {
            if (people[l] + people[r] <= limit) l++;
            r--;
            ans++;
        }
        return ans;
    }
}