OpenGL中，有一个函数叫frustum，字面的意思是截锥体，也就是一个去掉头部的锥体，如下图所示，
看了一下《计算机图形学》（英文名Computer Graphics with OpenGL）的透视投影推导过程，比较全面，各种情况都有描述。不过最近又参考了网上的一些资料，发现这里【1】的推导过程比较单纯直接。我们看一下，
注意到上面这个图，观察者的位置相对于(0,0,0）这个点是在右边的，也就目光是沿Z轴方向（所以距离 眼睛越近，显得越大嘛），OpenGL的camera也就是（0，0，0）点，沿-Z方向。
把xe映射到xp，ye映射到yp是这样的，
式（1）
通过Mprojection矩阵，把eye坐标投影到NDC空间(Normalized Device Coordinates, 归一化设备坐标系)，
注意下上面的ndc和clip坐标系之间，只差了一个系数 wclip，他们都是3维齐次坐标【2】。下面这个方程中，c就是clip，变换矩阵的第4行设置为(0, 0, -1, 0)，为什么呢？因为这一行实际上只处理系数wc，看前面我们知道xp与yp分别和（-Ze）成反比，所以这里我们也期望，wc和（-ze）成反比，且最后能归一化wc/(-ze)=1。
接下来的一步，就是完成xp，yp到xn，yn的归一化映射：[l, r] ⇒ [-1, 1] and [b, t] ⇒ [-1, 1]，首先来看映射[l, r] ⇒ [-1, 1]，如下图
这是一个非常简单的线性映射，写成方程式就是，
其中
就是xp=0时在xn轴上的截距，根据映射，当xp=r时，xn=1，代入到该式中，就可以得到，
然后变换一下格式，
现在把代回最上面那个式子，就得到了，
式（2）
同样的道理，可以得到
式（3）
把式（2），式（3）代回到式（1），就得到这样一个结果，
这两个结果，结合我们前面得到的wc=-ze，整个矩阵就可以等价地写成下面的形式，
现在只有矩阵的第3行是未知的，我们这样处理，
因为在eye的空间，we=1（w是一个和透视距离有关的量，0表示无穷远点，参考【2】），所以，
，和上面的道理类似，映射 (ze, zn)满足范围为近点=(-n, -1)，远点= (-f, 1),
求解该线性方程组，得到，
这样，得到
式（4）
最后得到的矩阵就可以写成
这个矩阵，也正是我们frustum函数变换所采用的矩阵。
这里也顺便提一下Z-finghting。根据式（4），Zn和Ze的关系为
因此，当[-n, -f]的距离比较大的时候，因为有理数取值都有误差，在远点就容易形成z-finghting，也就是当两个实体在远点有交接时，因为误差产生的距离抖动，无法准确得到交接线从而产生类似下图的结果，
本文结束。
参考
【1】http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html
【3】https://en.wikipedia.org/wiki/Z-fighting
