题目链接:
http://poj.org/problem?id=2142
题目大意:
有一个天平,还有质量为a和质量为b的砝码,砝码的数量不限且天平左右两端均可放砝码,现在要求
在天平上惩处质量为c的物品。那么问题来了:怎样放置砝码,才能使放置的砝码数量尽可能的少;当
砝码数量相同时,总质量尽可能的少。
思路:
假设放置x个质量为a的砝码和y个质量为b的砝码,题目就变为了求解a*x + b*y = c的其中一组解,使
得|x| + |y|尽可能小,若相等,则a|x| + b|y|尽可能小。设d = gcd(a,b),首先用扩展欧几里得算法出
a/d*x + b/d*y = c/d的一组一组解(x0,y0),那么通解就可以表示为x = x0 + b/d *t,y = y0 - a/d *t。
|x| + |y| = |x0 + b/d*t| + |y0 - a/d*t|。这是一个分段函数,|x0 + b/d*t|单调递增,|y0 - a/d*t|先单
调递减再单调递增。设a > b,则斜率 a/d > b/d,那么 |x| + |y| = |x0 + b/d*t| + |y0 - a/d*t|
数在 t < y0*d/a 的时候单调递减,在 t >= y0*d/a的时候单调递增。那么|x| + |y|在 t = y0*d/a取得最
小值因为x、y都为整数,t也是整数,所以最小值就在t的上下范围内取整,然后比较两者大小即可得到
结果。
还有一种方法,虽然照做了。。。但是还是不理解。希望大神帮忙解答。
设d = gcd(a,b),首先用扩展欧几里得算法出a/d*x + b/d*y = c/d的一组一组解(x0,y0),得到根据
方程来看,因为a、b都为正整数,则如果x为正数,则y为0或负数,若果x为0为负数,则y为正数。先求
出 |x| 的最小值x1为 (x0%b + b) % b,得出|y|的值y1 = |(c/d - a/d*x0)/(b/d)|。同理,也可求出 |y|的最
小值y2为 (y0%a + a) % a,再得出|x|的值x2 = |(c/d - b/d*y0)/(a/d)|。比较x1+y1和x2+y2的值,较小
的就是|x| + |y|最小结果。不清楚为什么这样可以AC。
AC代码: