椭圆曲线加密算法，即：Elliptic Curve Cryptography，简称ECC，是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。相比RSA，ECC优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA相当或更高的安全。据研究，160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密。 椭圆曲线在密码学中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。
椭圆曲线
一般，椭圆曲线可以用如下二元三阶方程表示：
y² = x³ + ax + b，其中a、b为系数。
其形状如下：
定义椭圆曲线的运算规则
椭圆曲线上的运算规则，由如下方式定义：
加法：过曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。如下图所示：A + B = C
二倍运算：上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况。因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。如下图所示：A + A = 2A = B
正负取反：将A关于x轴对称位置的点定义为-A，即椭圆曲线的正负取反运算。如下图所示：
无穷远点：如果将A与-A相加，过A与-A的直线平行于y轴，可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。如下图所示：
综上，定义了A+B、2A运算，因此给定椭圆曲线的某一点G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。即：当给定G点时，已知x，求xG点并不困难。反之，已知xG点，求x则非常困难。此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。
有限域上的椭圆曲线运算
椭圆曲线要形成一条光滑的曲线，要求x,y取值均为实数，即实数域上的椭圆曲线。但椭圆曲线加密算法，并非使用实数域，而是使用有限域。按数论定义，有限域GF(p)指给定某个质数p，由0、1、2......p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。
假设椭圆曲线为y² = x³ + x + 1，其在有限域GF(23)上时，写作：
y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)
此时，椭圆曲线不再是一条光滑曲线，而是一些不连续的点，如下图所示。以点(1,7)为例，7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点：
(0,1) (0,22)
(1,7) (1,16)
(3,10) (3,13)
(4,0)
(5,4) (5,19)
(6,4) (6,19)
(7,11) (7,12)
(9,7) (9,16)
(11,3) (11,20)
等等。
另外，如果P(x,y)为椭圆曲线上的点，则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。如点P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。
计算xG
相关公式如下：
有限域GF(p)上的椭圆曲线y² = x³ + ax + b，若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，且P≠-Q，则R(Xr,Yr) = P+Q 由如下规则确定：
Xr = (λ² - Xp - Xq) mod p
Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p
其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p（若P≠Q）, λ = (3Xp² + a)/2Yp mod p（若P=Q）
因此，有限域GF(23)上的椭圆曲线y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)，假设以(0,1)为G点，计算2G、3G、4G...xG等等，方法如下：
计算2G：
λ = (3x0² + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12
Xr = (12² - 0 - 0) mod 23 = 6
Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19
即2G为点(6,19)
计算3G：
3G = G + 2G，即(0,1) + (6,19)
λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3
Xr = (3² - 0 - 6) mod 23 = 3
Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13
即3G为点(3, 13)
同理计算4G、5G...xG，分布如下图：
椭圆曲线加解密算法原理
建立基于椭圆曲线的加密机制，需要找到类似RSA质因子分解或其他求离散对数这样的难题。而椭圆曲线上的已知G和xG求x，是非常困难的，此即为椭圆曲线上的的离散对数问题。此处x即为私钥，xG即为公钥。 椭圆曲线加密算法原理如下： 设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。 公钥加密： 选择随机数r，将消息M生成密文C，该密文是一个点对，即： C = {rG, M+rK}，其中K为公钥 私钥解密： M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M 其中k、K分别为私钥、公钥。
椭圆曲线签名算法原理
椭圆曲线签名算法，即ECDSA。 设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。 私钥签名： 1、选择随机数r，计算点rG(x, y)。 2、根据随机数r、消息M的哈希h、私钥k，计算s = (h + kx)/r。 3、将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。 公钥验证签名： 1、接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。 2、根据消息求哈希h。 3、使用发送方公钥K计算：hG/s + xK/s，并与rG比较，如相等即验签成功。 原理如下： hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s = r(h+xk)G / (h+kx) = rG
Go语言中椭圆曲线的实现
椭圆曲线的接口定义：
type Curve interface {
//获取椭圆曲线参数
Params() *CurveParams
//是否在曲线上
IsOnCurve(x, y *big.Int) bool
//加法
Add(x1, y1, x2, y2 *big.Int) (x, y *big.Int)
//二倍运算
Double(x1, y1 *big.Int) (x, y *big.Int)
//k*(Bx,By)
ScalarMult(x1, y1 *big.Int, k []byte) (x, y *big.Int)
//k*G, G为基点
ScalarBaseMult(k []byte) (x, y *big.Int)
}
//代码位置src/crypto/elliptic/elliptic.go
椭圆曲线的接口实现：
type CurveParams struct {
//有限域GF(p)中质数p
P *big.Int
//G点的阶
//如果存在最小正整数n，使得nG=O∞，则n为G点的阶
N *big.Int
//椭圆曲线方程y²= x³-3x+b中常数b
B *big.Int
//G点(x,y)
Gx, Gy *big.Int
//密钥长度
BitSize int
//椭圆曲线名称
Name string
}
func (curve *CurveParams) Params() *CurveParams {
//获取椭圆曲线参数，即curve，代码略
}
func (curve *CurveParams) IsOnCurve(x, y *big.Int) bool {
//是否在曲线y²=x³-3x+b上，代码略
}
func (curve *CurveParams) Add(x1, y1, x2, y2 *big.Int) (*big.Int, *big.Int) {
//加法运算，代码略
}
func (curve *CurveParams) Double(x1, y1 *big.Int) (*big.Int, *big.Int) {
//二倍运算，代码略
}
func (curve *CurveParams) ScalarMult(Bx, By *big.Int, k []byte) (*big.Int, *big.Int) {
//k*(Bx,By)，代码略
}
func (curve *CurveParams) ScalarBaseMult(k []byte) (*big.Int, *big.Int) {
//k*G, G为基点，代码略
}
//代码位置src/crypto/elliptic/elliptic.go
Go语言中椭圆曲线签名的实现
Go标准库中实现的椭圆曲线签名原理，与上述理论中基本接近。相关证明方法已注释在代码中。
//公钥
type PublicKey struct {
elliptic.Curve
X, Y *big.Int
}
//私钥
type PrivateKey struct {
PublicKey //嵌入公钥
D *big.Int //私钥
}
func Sign(rand io.Reader, priv *PrivateKey, hash []byte) (r, s *big.Int, err error) {
entropylen := (priv.Curve.Params().BitSize + 7) / 16
if entropylen > 32 {
entropylen = 32
}
entropy := make([]byte, entropylen)
_, err = io.ReadFull(rand, entropy)
if err != nil {
return
}
md := sha512.New()
md.Write(priv.D.Bytes()) //私钥
md.Write(entropy)
md.Write(hash)
key := md.Sum(nil)[:32]
block, err := aes.NewCipher(key)
if err != nil {
return nil, nil, err
}
csprng := cipher.StreamReader{
R: zeroReader,
S: cipher.NewCTR(block, []byte(aesIV)),
}
c := priv.PublicKey.Curve //椭圆曲线
N := c.Params().N //G点的阶
if N.Sign() == 0 {
return nil, nil, errZeroParam
}
var k, kInv *big.Int
for {
for {
//取随机数k
k, err = randFieldElement(c, csprng)
if err != nil {
r = nil
return
}
//求k在有限域GF(P)的逆，即1/k
if in, ok := priv.Curve.(invertible); ok {
kInv = in.Inverse(k)
} else {
kInv = fermatInverse(k, N) // N != 0
}
//求r = kG
r, _ = priv.Curve.ScalarBaseMult(k.Bytes())
r.Mod(r, N)
if r.Sign() != 0 {
break
}
}
e := hashToInt(hash, c) //e即哈希
s = new(big.Int).Mul(priv.D, r) //Dr，即DkG
s.Add(s, e) //e+DkG
s.Mul(s, kInv) //(e+DkG)/k
s.Mod(s, N) // N != 0
if s.Sign() != 0 {
break
}
//签名为{r, s}，即{kG, (e+DkG)/k}
}
return
}
//验证签名
func Verify(pub *PublicKey, hash []byte, r, s *big.Int) bool {
c := pub.Curve //椭圆曲线
N := c.Params().N //G点的阶
if r.Sign() <= 0 || s.Sign() <= 0 {
return false
}
if r.Cmp(N) >= 0 || s.Cmp(N) >= 0 {
return false
}
e := hashToInt(hash, c) //e即哈希
var w *big.Int
//求s在有限域GF(P)的逆，即1/s
if in, ok := c.(invertible); ok {
w = in.Inverse(s)
} else {
w = new(big.Int).ModInverse(s, N)
}
u1 := e.Mul(e, w) //即e/s
u1.Mod(u1, N)
u2 := w.Mul(r, w) //即r/s
u2.Mod(u2, N)
var x, y *big.Int
if opt, ok := c.(combinedMult); ok {
x, y = opt.CombinedMult(pub.X, pub.Y, u1.Bytes(), u2.Bytes())
} else {
x1, y1 := c.ScalarBaseMult(u1.Bytes()) //即eG/s
x2, y2 := c.ScalarMult(pub.X, pub.Y, u2.Bytes()) //即DGr/s
//即eG/s + DGr/s = (e + Dr)G/s
//= (e + Dr)kG / (e + DkG) = (e + Dr)r / (e + Dr) = r
x, y = c.Add(x1, y1, x2, y2)
}
if x.Sign() == 0 && y.Sign() == 0 {
return false
}
x.Mod(x, N)
return x.Cmp(r) == 0
}
//代码位置src/crypto/ecdsa/ecdsa.go
后记
椭圆曲线数字签名算法，因其高安全性，目前已广泛应用在比特币、以太坊、超级账本等区块链项目中。
