椭圆曲线加密算法,即:Elliptic Curve Cryptography,简称ECC,是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。相比RSA,ECC优势是可以使用更短的密钥,来实现与RSA相当或更高的安全。据研究,160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密,210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密。
 
  椭圆曲线在密码学中的使用,是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。
 

椭圆曲线

 
  一般,椭圆曲线可以用如下二元三阶方程表示:
  y² = x³ + ax + b,其中a、b为系数。
 
  其形状如下:
 
椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现
 

定义椭圆曲线的运算规则

 
  椭圆曲线上的运算规则,由如下方式定义:
 
  加法:过曲线上的两点A、B画一条直线,找到直线与椭圆曲线的交点,交点关于x轴对称位置的点,定义为A+B,即为加法。如下图所示:A + B = C
 
椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现
 
  二倍运算:上述方法无法解释A + A,即两点重合的情况。因此在这种情况下,将椭圆曲线在A点的切线,与椭圆曲线的交点,交点关于x轴对称位置的点,定义为A + A,即2A,即为二倍运算。如下图所示:A + A = 2A = B
 
椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现
 
  正负取反:将A关于x轴对称位置的点定义为-A,即椭圆曲线的正负取反运算。如下图所示:
 
椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现
 
  无穷远点:如果将A与-A相加,过A与-A的直线平行于y轴,可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。如下图所示:
 
椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现
 
  综上,定义了A+B、2A运算,因此给定椭圆曲线的某一点G,可以求出2G、3G(即G + 2G)、4G......。即:当给定G点时,已知x,求xG点并不困难。反之,已知xG点,求x则非常困难。此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。
 

有限域上的椭圆曲线运算

 
  椭圆曲线要形成一条光滑的曲线,要求x,y取值均为实数,即实数域上的椭圆曲线。但椭圆曲线加密算法,并非使用实数域,而是使用有限域。按数论定义,有限域GF(p)指给定某个质数p,由0、1、2......p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。
 
  假设椭圆曲线为y² = x³ + x + 1,其在有限域GF(23)上时,写作:
  y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)
 
  此时,椭圆曲线不再是一条光滑曲线,而是一些不连续的点,如下图所示。以点(1,7)为例,7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点:
 
  (0,1) (0,22)
  (1,7) (1,16)
  (3,10) (3,13)
  (4,0)
  (5,4) (5,19)
  (6,4) (6,19)
  (7,11) (7,12)
  (9,7) (9,16)
  (11,3) (11,20)
  等等。
 
  另外,如果P(x,y)为椭圆曲线上的点,则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。如点P(0,1),-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。
 
椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现
 

计算xG

 
  相关公式如下:
  有限域GF(p)上的椭圆曲线y² = x³ + ax + b,若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq),且P≠-Q,则R(Xr,Yr) = P+Q 由如下规则确定:
 
  Xr = (λ² - Xp - Xq) mod p
  Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p
  其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p(若P≠Q), λ = (3Xp² + a)/2Yp mod p(若P=Q)
 
  因此,有限域GF(23)上的椭圆曲线y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23),假设以(0,1)为G点,计算2G、3G、4G...xG等等,方法如下:
 
  计算2G:
  λ = (3x0² + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12
  Xr = (12² - 0 - 0) mod 23 = 6
  Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19
  即2G为点(6,19)
 
  计算3G:
  3G = G + 2G,即(0,1) + (6,19)
  λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3
  Xr = (3² - 0 - 6) mod 23 = 3
  Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13
  即3G为点(3, 13)
 
  同理计算4G、5G...xG,分布如下图:
 
椭圆曲线加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现
 

椭圆曲线加解密算法原理

 
  建立基于椭圆曲线的加密机制,需要找到类似RSA质因子分解或其他求离散对数这样的难题。而椭圆曲线上的已知G和xG求x,是非常困难的,此即为椭圆曲线上的的离散对数问题。此处x即为私钥,xG即为公钥。
 
  椭圆曲线加密算法原理如下:
 
  设私钥、公钥分别为k、K,即K = kG,其中G为G点。
 
  公钥加密:
  选择随机数r,将消息M生成密文C,该密文是一个点对,即:
  C = {rG, M+rK},其中K为公钥
 
  私钥解密:
  M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M
  其中k、K分别为私钥、公钥。
 

椭圆曲线签名算法原理

 
  椭圆曲线签名算法,即ECDSA。
  设私钥、公钥分别为k、K,即K = kG,其中G为G点。
 
  私钥签名:
  1、选择随机数r,计算点rG(x, y)。
  2、根据随机数r、消息M的哈希h、私钥k,计算s = (h + kx)/r。
  3、将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。
 
  公钥验证签名:
  1、接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。
  2、根据消息求哈希h。
  3、使用发送方公钥K计算:hG/s + xK/s,并与rG比较,如相等即验签成功。
 
  原理如下:
  hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s
  = r(h+xk)G / (h+kx) = rG
 

Go语言中椭圆曲线的实现

 
  椭圆曲线的接口定义:
 

type Curve interface {
    //获取椭圆曲线参数
    Params() *CurveParams
    //是否在曲线上
    IsOnCurve(x, y *big.Int) bool
    //加法
    Add(x1, y1, x2, y2 *big.Int) (x, y *big.Int)
    //二倍运算
    Double(x1, y1 *big.Int) (x, y *big.Int)
    //k*(Bx,By)
    ScalarMult(x1, y1 *big.Int, k []byte) (x, y *big.Int)
    //k*G, G为基点
    ScalarBaseMult(k []byte) (x, y *big.Int)
}
//代码位置src/crypto/elliptic/elliptic.go

 
  椭圆曲线的接口实现:
 

type CurveParams struct {
    //有限域GF(p)中质数p
    P       *big.Int
    //G点的阶
    //如果存在最小正整数n,使得nG=O∞,则n为G点的阶
    N       *big.Int
    //椭圆曲线方程y²= x³-3x+b中常数b
    B       *big.Int
    //G点(x,y)
    Gx, Gy  *big.Int
    //密钥长度
    BitSize int
    //椭圆曲线名称
    Name    string
}

func (curve *CurveParams) Params() *CurveParams {
    //获取椭圆曲线参数,即curve,代码略
}

func (curve *CurveParams) IsOnCurve(x, y *big.Int) bool {
    //是否在曲线y²=x³-3x+b上,代码略
}

func (curve *CurveParams) Add(x1, y1, x2, y2 *big.Int) (*big.Int, *big.Int) {
    //加法运算,代码略
}

func (curve *CurveParams) Double(x1, y1 *big.Int) (*big.Int, *big.Int) {
    //二倍运算,代码略
}

func (curve *CurveParams) ScalarMult(Bx, By *big.Int, k []byte) (*big.Int, *big.Int) {
    //k*(Bx,By),代码略
}

func (curve *CurveParams) ScalarBaseMult(k []byte) (*big.Int, *big.Int) {
    //k*G, G为基点,代码略
}
//代码位置src/crypto/elliptic/elliptic.go

 

Go语言中椭圆曲线签名的实现

 
  Go标准库中实现的椭圆曲线签名原理,与上述理论中基本接近。相关证明方法已注释在代码中。
 

//公钥
type PublicKey struct {
    elliptic.Curve
    X, Y *big.Int
}

//私钥
type PrivateKey struct {
    PublicKey //嵌入公钥
    D *big.Int //私钥
}

func Sign(rand io.Reader, priv *PrivateKey, hash []byte) (r, s *big.Int, err error) {
    entropylen := (priv.Curve.Params().BitSize + 7) / 16
    if entropylen > 32 {
        entropylen = 32
    }
    entropy := make([]byte, entropylen)
    _, err = io.ReadFull(rand, entropy)
    if err != nil {
        return
    }

    md := sha512.New()
    md.Write(priv.D.Bytes()) //私钥
    md.Write(entropy)
    md.Write(hash)
    key := md.Sum(nil)[:32]

    block, err := aes.NewCipher(key)
    if err != nil {
        return nil, nil, err
    }

    csprng := cipher.StreamReader{
        R: zeroReader,
        S: cipher.NewCTR(block, []byte(aesIV)),
    }

    c := priv.PublicKey.Curve //椭圆曲线
    N := c.Params().N //G点的阶
    if N.Sign() == 0 {
        return nil, nil, errZeroParam
    }
    var k, kInv *big.Int
    for {
        for {
            //取随机数k
            k, err = randFieldElement(c, csprng)
            if err != nil {
                r = nil
                return
            }

            //求k在有限域GF(P)的逆,即1/k
            if in, ok := priv.Curve.(invertible); ok {
                kInv = in.Inverse(k)
            } else {
                kInv = fermatInverse(k, N) // N != 0
            }

            //求r = kG
            r, _ = priv.Curve.ScalarBaseMult(k.Bytes())
            r.Mod(r, N)
            if r.Sign() != 0 {
                break
            }
        }

        e := hashToInt(hash, c) //e即哈希
        s = new(big.Int).Mul(priv.D, r) //Dr,即DkG
        s.Add(s, e) //e+DkG
        s.Mul(s, kInv) //(e+DkG)/k
        s.Mod(s, N) // N != 0
        if s.Sign() != 0 {
            break
        }

        //签名为{r, s},即{kG, (e+DkG)/k}
    }

    return
}

//验证签名
func Verify(pub *PublicKey, hash []byte, r, s *big.Int) bool {
    c := pub.Curve //椭圆曲线
    N := c.Params().N //G点的阶

    if r.Sign() <= 0 || s.Sign() <= 0 {
        return false
    }
    if r.Cmp(N) >= 0 || s.Cmp(N) >= 0 {
        return false
    }
    e := hashToInt(hash, c) //e即哈希

    var w *big.Int
    //求s在有限域GF(P)的逆,即1/s
    if in, ok := c.(invertible); ok {
        w = in.Inverse(s)
    } else {
        w = new(big.Int).ModInverse(s, N)
    }

    u1 := e.Mul(e, w) //即e/s
    u1.Mod(u1, N)
    u2 := w.Mul(r, w) //即r/s
    u2.Mod(u2, N)

    var x, y *big.Int
    if opt, ok := c.(combinedMult); ok {
        x, y = opt.CombinedMult(pub.X, pub.Y, u1.Bytes(), u2.Bytes())
    } else {
        x1, y1 := c.ScalarBaseMult(u1.Bytes()) //即eG/s
        x2, y2 := c.ScalarMult(pub.X, pub.Y, u2.Bytes()) //即DGr/s
        //即eG/s + DGr/s = (e + Dr)G/s
        //= (e + Dr)kG / (e + DkG) = (e + Dr)r / (e + Dr) = r
        x, y = c.Add(x1, y1, x2, y2) 
    }

    if x.Sign() == 0 && y.Sign() == 0 {
        return false
    }
    x.Mod(x, N)
    return x.Cmp(r) == 0
}
//代码位置src/crypto/ecdsa/ecdsa.go

 

后记

 
  椭圆曲线数字签名算法,因其高安全性,目前已广泛应用在比特币、以太坊、超级账本等区块链项目中。