什么是优先队列

我们都知道队列是一种先进先出、后进后出的数据结构,就如同日常生活中的排队一样,先到先得。而优先队列则是一种特殊的队列,优先队列与普通队列最大的不同点就在于出队顺序不一样。

因为优先队列的出队顺序与入队顺序无关,和优先级有关。也就是按元素的优先级决定其出队顺序,优先级高的先出队,优先级低的后出队,这也是为什么这种数据结构叫优先队列的原因。

这就好比现实生活中在银行排队办理业务,持有金卡的客户可以优先于普通卡的客户被接待,而钻石卡的客户又优先于金卡的客户,以此类推。这就是一种优先队列。

应用场景:

  • 优先队列的应用场景非常多,比如,任务调度器、赫夫曼编码、图的最短路径、最小生成树算法等等。不仅如此,很多语言中,都提供了优先级队列的实现,比如,Java 的 PriorityQueue,C++ 的 priority_queue 等。

堆的基础表示

堆(Heap)简单来说是一种特殊的树,那么什么样的树才是堆呢?我罗列了两点要求,只要满足这两点,它就是一个堆:

  • 堆是一个完全二叉树。完全二叉树:把元素顺序排列成树的形状
  • 堆中每一个节点的值都必须大于等于(或小于等于)其子树中每个节点的值

第一点,堆必须是一个完全二叉树。还记得我们之前讲的完全二叉树的定义吗?完全二叉树要求,除了最后一层,其他层的节点个数都是满的,最后一层的节点都靠左排列。

第二点,堆中的每个节点的值必须大于等于(或者小于等于)其子树中每个节点的值。实际上,我们还可以换一种说法,堆中每个节点的值都大于等于(或者小于等于)其左右子节点的值。这两种表述是等价的。

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆,我们叫做“大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆,我们叫做“小顶堆”。

清楚了定义之后,我们来直观的看一下什么是堆:
数据结构之优先队列和堆

在上图中,第 1 个和第 2 个是大顶堆,第 3 个是小顶堆,第 4 个不是堆。除此之外,从图中还可以看出来,对于同一组数据,我们可以构建多种不同形态的堆。

如何实现一个堆?

堆的实现并不局限于某一种特定的方式,可以使用链式树形结构(节点有左右指针)实现,也可以使用数组实现,因为完全二叉树的特性是一层一层按顺序排列的,完全可以紧凑地放在数组中。而且基于数组实现堆是一种比较巧妙且高效的方式,也是最常用的方式。

用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。因为我们不需要存储左右子节点的指针,单纯地通过数组的下标,就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。如下图所示:
数据结构之优先队列和堆

从图中我们可以看到节点的存放规律就是:数组中下标为 $i$ 的节点的左子节点,就是下标为 $2∗i$ 的节点,右子节点则是下标为 $2∗i+1$ 的节点。所以反过来,其父节点也就是下标为 $\frac{i}{2}​$ 的节点。

parent(i) = i / 2
left child(i) = 2 * i
right child(i) = 2 * i + 1

通过这种方式,我们只要知道根节点存储的位置,这样就可以通过下标计算,把整棵树都串起来。一般情况下,为了方便计算子节点,根节点会存储在下标为 1 的位置。

如果从 0 开始存储,实际上处理思路是没有任何变化的,唯一变化的就是计算子节点和父节点的下标的公式改变了:如果节点的下标是 $i$,那左子节点的下标就是 $2∗i+1$,右子节点的下标就是 $2∗i+2$,父节点的下标就是 $\frac{i-1}{2}​$​。如下图所示:
数据结构之优先队列和堆

有了以上的认知后,接下来,我们就可以先编写一个堆的基础框架代码了:

package heap;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;

/**
 * 基于数组实现的最大堆
 * 堆中的元素需要具有可比较性,所以需要实现Comparable
 * 在此实现中是从数组的下标0开始存储元素,因为使用ArrayList作为数组的角色
 *
 * @author 01
 * @date 2021-01-19
 **/
public class MaxHeap<E extends Comparable<E>> {

    /**
     * 使用ArrayList的目的是无需关注动态扩缩容逻辑
     */
    private final ArrayList<E> data;

    public MaxHeap(int capacity) {
        this.data = new ArrayList<>(capacity);
    }

    public MaxHeap() {
        this.data = new ArrayList<>();
    }

    /**
     * 返回对中的元素个数
     */
    public int size() {
        return data.size();
    }

    /**
     * 判断堆是否为空
     */
    public boolean isEmpty() {
        return data.isEmpty();
    }

    /**
     * 根据传入的index,计算其父节点所在的下标
     */
    private int parent(int index) {
        if (index == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("index-1 doesn't have parent.");

        }
        return (index - 1) / 2;
    }

    /**
     * 根据传入的index,计算其左子节点所在的下标
     */
    private int leftChild(int index) {
        return index * 2 + 1;
    }

    /**
     * 根据传入的index,计算其右子节点所在的下标
     */
    private int rightChild(int index) {
        return index * 2 + 2;
    }
}

向堆中添加元素和Sift Up

往堆中添加一个元素后,我们需要继续满足堆的两个特性。如果我们把新添加的元素放到数组的最后,如下图,是不是就不符合堆的特性了?
数据结构之优先队列和堆

于是,我们就需要进行调整,让其重新满足堆的特性,这个过程就叫做堆化(heapify)。堆化实际上有两种,从下往上(Sift Up)和从上往下(Sift Down)。这里我先讲从下往上的堆化方法。堆化非常简单,就是顺着节点所在的路径,向上或者向下,对比,然后交换。

看下面这张使用Sift Up方式的堆化过程分解图。我们可以让新插入的节点与父节点对比大小。如果不满足子节点小于等于父节点的大小关系,我们就互换两个节点。一直重复这个过程,直到父子节点之间满足刚说的那种大小关系:
数据结构之优先队列和堆

将这个流程翻译成具体的实现代码如下:

/**
 * 向堆中添加元素 e
 */
public void add(E e) {
    data.add(e);
    siftUp(data.size() - 1);
}

/**
 * 从下往上调整元素的位置,直到元素到达根节点或小于父节点
 */
private void siftUp(int k) {
    while (k > 1 && isParentLessThan(k)) {
        // 交换 k 与其父节点的位置
        Collections.swap(data, k, parent(k));
        k = parent(k);
    }
}

/**
 * 判断 k 的父节点是否小于 k
 */
private boolean isParentLessThan(int k) {
    return data.get(parent(k)).compareTo(data.get(k)) < 0;
}

从堆中取出元素和Sift Down

从堆的定义的第二条中,任何节点的值都大于等于(或小于等于)子树节点的值,我们可以发现,堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或者最小值。

而从堆中取出元素其实就是取出堆中最大或最小的元素,并且取出后会删除,所以也可以理解为删除堆顶元素。堆顶也就是堆的根节点,或者说是数组下标为0或1的元素。

假设我们构造的是大顶堆,堆顶元素就是最大的元素。当我们删除堆顶元素之后,就需要把最后一个节点放到堆顶,然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的,互换两个节点,并且重复进行这个过程,直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是从上往下(Sift Down)的堆化方法。如下图:
数据结构之优先队列和堆

因为我们移除的是数组中的最后一个元素,而在堆化的过程中,都是交换操作,不会出现数组中的“空洞”,所以这种方法堆化之后的结果,肯定满足完全二叉树的特性。

具体的实现代码如下:

/**
 * 获取堆顶元素
 */
public E findMax() {
    if (isEmpty()) {
        throw new IllegalArgumentException("Can't find max when heap is empty.");
    }

    return data.get(0);
}

/**
 * 从堆中取出元素,也就是取出堆顶元素
 */
public E extractMax() {
    E ret = findMax();
    // 交换根节点与最后一个节点的位置
    Collections.swap(data, 0, data.size() - 1);
    // 删除最后一个节点
    data.remove(data.size() - 1);
    siftDown(0);

    return ret;
}

/**
 * 从上往下调整元素的位置,直到元素到达叶子节点或大于左右子节点
 */
private void siftDown(int k) {
    // 左子节点大于size时就证明到底了
    while (leftChild(k) < data.size()) {
        int leftChildIndex = leftChild(k);
        int rightChildIndex = leftChildIndex + 1;
        int maxChildIndex = leftChildIndex;

        // 左右子节点中最大的节点下标
        if (rightChildIndex < data.size() &&
                isGreaterThan(rightChildIndex, leftChildIndex)) {
            maxChildIndex = rightChildIndex;
        }

        // 大于最大的子节点证明 k 已经大于左右子节点,无需再继续下沉了
        if (data.get(k).compareTo(data.get(maxChildIndex)) >= 0) {
            break;
        }

        // 否则,交换 k 与其最大子节点的位置,继续下沉
        Collections.swap(data, k, maxChildIndex);
        k = maxChildIndex;
    }
}

/**
 * 判断右子节点是否大于左子节点
 */
private boolean isGreaterThan(int rightChildIndex, int leftChildIndex) {
    return data.get(rightChildIndex).compareTo(data.get(leftChildIndex)) > 0;
}

到此为止,我们就已经实现了堆的核心操作。接下来我们使用一个简单的测试用例,测试下这个堆的行为是否符合预期。测试代码如下:

/**
 * 测试堆的行为是否符合预期
 */
private static void testAddAndExtractMax() {
    int n = 1000000;
    // 随机往堆里添加n个元素
    MaxHeap<Integer> maxHeap = new MaxHeap<>();
    Random random = new Random();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        maxHeap.add(random.nextInt(Integer.MAX_VALUE));
    }

    // 取出堆中的所有元素,放到arr中
    int[] arr = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        arr[i] = maxHeap.extractMax();
    }

    // 由于堆的特性,此时arr中的元素理应是有序的
    // 所以这里校验一下arr是否是有序的,如果无序则代表堆的实现有问题
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (arr[i - 1] < arr[i]) {
            throw new IllegalArgumentException("Error");
        }
    }

    System.out.println("Test MaxHeap completed.");
}

public static void main(String[] args) {
    testAddAndExtractMax();
}

Heapify 和 Replace

堆的 Heapify 和 Replace 也是比较常见的操作,虽然使用之前所编写的代码也能实现,但并不是那么好使,例如实现 Replace 需要两次$O(logn)$的操作。所以在本小节就为这两个操作,单独编写相应的代码。

Replace

  • Replace:取出最大元素后,放入一个新元素
  • 使用已有代码的实现:可以先extractMax,再add,两次$O(logn)$的操作
  • 新的实现:可以直接将堆顶元素替换以后进行Sift Down,只需要一次$O(logn)$的操作

有了之前的代码基础,实现 Replace 就非常简单了,只需要几行代码。如下:

/**
 * 取出堆中的最大元素,并且替换成元素e
 */
public E replace(E e) {
    E ret = findMax();
    // 替换堆顶元素
    data.set(0, e);
    siftDown(0);

    return ret;
}

Heapify

  • Heapify:将任意数组整理成堆的形状,也就是对一个数组进行堆化,或者说是建堆
  • 使用已有代码的实现:遍历数组,调用add将每个元素添加到堆里。时间复杂度是$O(nlogn)$
  • 新的实现:从后往前处理数组,并且每个数据都是从上往下堆化。因为叶子节点往下堆化只能自己跟自己比较,所以我们直接从最后一个非叶子节点开始,依次堆化就行了。这样相当于只需要对数组中一半的元素进行Sift Down操作。时间复杂度是$O(n)$

建堆分解步骤图如下:
数据结构之优先队列和堆
数据结构之优先队列和堆

同样,基于之前已有的代码,Heapify 实现起来也非常的简单,我们可以选择在构造器中提供这个功能。具体的实现代码如下:

public MaxHeap(E[] arr) {
    this.data = asArrayList(arr);
    // 最后一个非叶子节点的下标
    int lastNode = parent(data.size() - 1);
    for (int i = lastNode; i >= 0; i--) {
        // 从后往前依次堆化
        siftDown(i);
    }
}

/**
 * 将数组转换为ArrayList
 */
private ArrayList<E> asArrayList(E[] arr) {
    ArrayList<E> ret = new ArrayList<>();
    Collections.addAll(ret, arr);

    return ret;
}

基于堆的优先队列

现在我们已经了解了优先队列和堆,并且自己动手实现了一个堆,因此,不难看得出来,堆和优先队列非常相似。一个堆其实就可以看作是一个优先队列。Java中的优先队列也是基于堆实现的,是一个小顶堆。

很多时候,它们只是概念上的区分而已。往优先队列中插入一个元素,就相当于往堆中插入一个元素;从优先队列中取出优先级最高的元素,就相当于取出堆顶元素。所以,堆和优先队列在基本行为上是等价的。

我们之前也提到了优先队列可以使用不同的方式进行实现,但使用堆这种数据结构来实现优先队列是最高效也最符合直觉的,因为堆本身就是一个优先队列。

从下图中可以看到使用不同数据结构实现优先队列的时间复杂度:
数据结构之优先队列和堆

接下来,我们就实现一个基于堆的优先队列。首先,定义一个队列接口:

package queue;

/**
 * 队列数据结构接口
 *
 * @author 01
 **/
public interface Queue<E> {
    /**
     * 新元素入队
     *
     * @param e 新元素
     */
    void enqueue(E e);

    /**
     * 元素出队
     *
     * @return 元素
     */
    E dequeue();

    /**
     * 获取位于队首的元素
     *
     * @return 队首的元素
     */
    E getFront();

    /**
     * 获取队列中的元素个数
     *
     * @return 元素个数
     */
    int getSize();

    /**
     * 队列是否为空
     *
     * @return 为空返回true,否则返回false
     */
    boolean isEmpty();
}

然后实现接口中的方法,由于我们之前已经实现了一个堆,所以这个优先队列实现起来就非常简单了:

package queue;

import heap.MaxHeap;

/**
 * 基于堆实现的优先队列
 *
 * @author 01
 * @date 2021-01-19
 */
public class PriorityQueue<E extends Comparable<E>> implements Queue<E> {

    private final MaxHeap<E> maxHeap;

    public PriorityQueue() {
        maxHeap = new MaxHeap<>();
    }

    @Override
    public int getSize() {
        return maxHeap.size();
    }

    @Override
    public boolean isEmpty() {
        return maxHeap.isEmpty();
    }

    @Override
    public E getFront() {
        return maxHeap.findMax();
    }

    @Override
    public void enqueue(E e) {
        maxHeap.add(e);
    }

    @Override
    public E dequeue() {
        return maxHeap.extractMax();
    }
}