手撕排序算法系列之第七篇:堆排序

从本篇文章开始,我会介绍并分析常见的几种排序,大致包括​​直接插入排序​​​,​​冒泡排序​​​,​​希尔排序​​​,​​选择排序​​​,堆排序,​​快速排序​​​,​​归并排序(上)​​等。​

本篇我们一起来手撕堆排序~ 

目录

1.堆的概念结构及分类

2. 堆的主要接口

3.堆的实现

4.堆的应用:堆排序   ***

5.堆(小堆)的完整代码


1.堆的概念结构及分类

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_排序算法[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_排序算法_02

以上这段概念描述看起来十分复杂,晦涩难懂。那么堆用通俗语言简单描述如下:

堆是一个完全二叉树的顺序存储。在一个堆中,堆的父节点一定大于等于(或小于等于)子节点。一旦有一部分不满足则不为堆。

堆的性质: 

1、堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值;

2、堆总是一棵完全二叉树

1.2堆的分类

1.2.1 大堆

在一个堆中,父节点一定大于等于子节点的堆称为大堆。又称大根堆。

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_堆排序_03[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_数据结构_04

1.2.2 小堆

在一个堆中,父节点一定小于等于子节点的堆称为小堆。又称小根堆。(下图就是一个小堆)

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_排序算法_05[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_排序算法_06

习题练习:

1.下列关键字序列为堆的是:(A)
A 100,60,70,50,32,65
B 60,70,65,50,32,100
C 65,100,70,32,50,60
D 70,65,100,32,50,60
E 32,50,100,70,65,60
F 50,100,70,65,60,32

分析:选项A分析后为大堆,其他选项多多少少都存在错误。(画图分析如下)

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_数据结构_07[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_数据结构_08

2. 堆的主要接口

在本篇文章中我们主要以小堆为例实现。

现实中我们通常把堆使用顺序结构的数组来存储,需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事,一个是数据结构,一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

其中堆中包括以下主要功能:

1.堆的初始化   2.堆销毁  3.堆打印  4.堆的插入元素  5.堆删除元素   6.判断堆是否为空  7.求堆中元素的个数  8.求堆顶元素

详细接口如下:

//小堆
//算法逻辑思想是二叉树,物理上操作的是数组中数据
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* a; //数组a
size_t size; //下标
size_t capacity; //容量
}HP;

void Swap(HPDataType* pa, HPDataType* pb);//交换函数
void HeapInit(HP* php);//堆初始化
void HeapDestory(HP* php);//堆销毁
void HeapPrint(HP* php);//堆打印

//插入x以后,仍然要保证堆是(大/小)堆
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);

//删除堆顶的数据(最大/最小)
void HeapPop(HP* php);

bool HeapEmpty(HP* php); //判断是否为空
size_t HeapSize(HP* php);//求元素个数
HPDataType HeapTop(HP* php);//求堆顶元素

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_数据结构_09

3.堆的实现

有了如上的接口,接下来我们实现各个接口。由于我们使用数组来实现堆,大多接口功能和顺序表的实现相同。相同的实现这里不再过多分析。

3.1 堆的初始化 HeapInit

void HeapInit(HP* php)
{
assert(php);
php->a = NULL;
php->size = php->capacity = 0;

}

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_排序算法_10

3.2 堆的销毁 HeapDestory

void HeapDestory(HP* php)
{
assert(php);
free(php->a);
php->a = NULL;
php->capacity = php->size = 0;

}

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_堆排序_11

3.3 堆的打印 HeapPrint

void HeapPrint(HP* php)
{
assert(php);
for (size_t i = 0; i < php->size; ++i)
{
printf("%d ", php->a[i]);
}
printf("\n");
}

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_数据结构_12

3.4 堆的插入元素 HeapPush   *

堆的元素插入是堆的一大重点和难点。接下来我们对该功能进行分析和实现。

功能分析:

1、我们要向堆中插入元素,我们首先要判断数组是否空间已满,如果空间已满就要扩容。扩容后再将新元素插入数组尾部。此过程和顺序表相同。

2、由于插入新元素,我们要对该元素进行分析(此处以如下图小堆举例),分析插入元素是否会破坏堆结构,如果破坏了堆,我们就要对堆进行向上调整。

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_堆排序_13[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_数据结构_14

3、向上调整过程分析(过程步骤如下图):

a. 我们发现出入新元素10之后,10作为28(父节点)的子节点却比28小,这样就破坏了我们的堆结构,这样就不构成小堆。因此我们需要对该结构进行调整。

b.由于堆的物理结构是一个数组,所以我们可以通过数组下标的形式找到我们孩子节点的父节点。不难分析出parent = (child-1)/2.当我们找到父节点时,我们进行大小比较,如果子节点小于父节点,此时就要进行交换元素。再让子节点到父节点的位置,重新计算父节点。

c.持续循环比较,如果child等于0时,说明向上调整结束。因此循环的条件可写为child>0.

注:循环过程中一旦成堆,则跳出循环。

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_堆排序_15[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_堆排序_16

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功能实现:

//交换函数
void Swap(HPDataType* pa, HPDataType* pb)
{
HPDataType tmp = *pa;
*pa = *pb;
*pb = tmp;
}


//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, size_t child)
{
size_t parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}


void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
assert(php);
//考虑是否扩容
if (php->size == php->capacity)
{
size_t newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
HPDataType* tmp = realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);
if (tmp == NULL)
{
printf("realloc failed\n");
exit(-1);
}
php->a = tmp;
php->capacity = newCapacity;
}
php->a[php->size] = x;
++php->size;
//需要向上调整
AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_排序算法_19

3.5 堆的删除元素 HeapPop  *


删除堆是删除堆顶的数据




思路:将堆顶的数据跟最后一个数据一换,然后删除数组最后一个数据,再进行向下调整算法。


功能分析:

我们要删除堆是删除堆顶的数据,我们不能直接删除堆顶的数据。如果直接删除堆顶的数据,就会破坏堆结构,并且复原的复杂度较高。在这里我们介绍一种方法不仅解决了删除堆的问题,并且复杂度较低。

1、首先我们要将堆顶的数据跟最后一个数据交换,然后删除数组最后一个数据,再进行向下调整算法。

2、向下调整算法具体步骤(过程步骤如下图):

a.我们将堆顶元素和数组最后一个元素交换后,此时堆顶的元素是数组的最后一个元素,我们要进行向下调整。定义parent为堆顶元素,查找2个子节点中较小的一个节点作为孩子节点。由于堆是数组结构实现,我们可以首先找到左孩子节点child = 2*parent+1。让左孩子和右孩子进行比较,较小的作为child的最后值。

b.如果孩子小于父亲,则交换,并继续往下调整。让parent到child的位置,再重新计算孩子。

c.当孩子大于等于元素总个数时,循环结束。因此循环的条件可以写为child<size.

注:循环过程中一旦成堆,则跳出循环。

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_堆排序_20[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_数据结构_21

功能实现:

void AdjustDown(HPDataType* a, size_t size, size_t root)
{
size_t parent = root;
size_t child = parent * 2 + 1;//先拿到左孩子
while (child < size)
{
// 1、选出左右孩子中小的那个
if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])
{
++child;
}

// 2、如果孩子小于父亲,则交换,并继续往下调整
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
void HeapPop(HP* php)
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
--php->size;
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_排序算法_22

3.6 判断是否为空 HeapEmpty

bool HeapEmpty(HP* php)
{
assert(php);
return php->size == 0;
}

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_数据结构_23

3.7 求元素个数

size_t HeapSize(HP* php)
{
assert(php);
return php->size;
}

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_排序算法_24

3.8 求堆顶元素

HPDataType HeapTop(HP* php)
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
return php->a[0];
}

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_堆排序_25

4.堆的应用:堆排序   ***


堆排序即利用堆的思想来进行排序,总共分为两个步骤:


1. 建堆


升序:建大堆


降序:建小堆


2. 利用堆删除思想来进行排序


建堆和堆删除中都用到了向下调整,因此掌握了向下调整,就可以完成堆排序。


 假设此时我们需要对数组元素进行升序排序,我们就可以使用我们刚刚实现的小堆。

4.1 堆排序实现过程分析

1、首先我们将数组的元素插入到堆中,根据向上调整,此时堆已经是小堆。

2、根据小堆的性质,堆顶的元素一定是该堆中最小的元素,因此我们取到堆顶的元素,再删除堆顶的元素让堆重新生成小堆。依次循环即可解决升序排序(降序排序只需将小堆改为大堆即可)。

4.2 堆排序实现代码

//堆排序
void HeapSort(int* a, int size)
{
HP hp;
HeapInit(&hp);
for (int i = 0; i < size; ++i)
{
HeapPush(&hp, a[i]);
}
size_t j = 0;
while (!HeapEmpty(&hp))
{
a[j] = HeapTop(&hp);
j++;
HeapPop(&hp);
}
HeapDestory(&hp);
}
int main()
{
// TestHeap();

int a[] = { 4,2,1,3,5,7,9,8,6};
HeapSort(a,sizeof(a)/sizeof(int));
for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); ++i)
{
printf("%d ", a[i]);
}

return 0;
}

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_堆排序_26

4.3 堆排序结果演示

[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_排序算法_27[ 数据结构 -- 手撕排序算法第七篇 ] 堆排序(上) 堆及其堆排序_堆排序_28

5.堆(小堆)的完整代码

​2022_03_30 -- 堆/2022_03_30 -- 二叉树 · 李兴宇/数据结构 - 码云 - 开源中国 (gitee.com)​

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 (本篇完)